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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 14

Nos Exercícios 9-14, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Em seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de t . Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e versor.

14. r → ( t ) = ( e - t ) i → +   ( 2   c o s   3 t )   j → + ( 2   s e n   3 t )   k → ,   t = 0

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo tranquilo!

Para começar, vamos calcular os vetores velocidade e aceleração. Só precisamos a derivada em relação ao tempo do vetor posição uma vez para a velocidade e duas para a aceleração:

v → = d d t r → ( t ) = d d t ( e - t ) i → + d d t ( 2   c o s   3 t ) j → + d d t ( 2   s e n   3 t )   k →

v → = - e - t   i →   - 6   s e n   3 t   j → + 6   c o s   3 t   k →

Agora, podemos calcular a aceleração tomando a derivada temporal novamente

a → = d d t v → = d d t ( - e - t )   i → + d d t ( - 6   s e n   3 t ) j → + d d t ( 6   c o s   3 t )   k →

a → = e -   t   i → - ( 18 c o s   3 t ) j → - ( 18   s e n   3 t ) k →

Passo 2

Precisamos encontrar o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor t = 1 . Temos:

| v → | = e - t 2 + 36   s e n 2 t + 36   c o s 2 t = e - 2 t + 36

v → | v → | = 1 e - 2 t   +   36 - e - t   i →   - 6   s e n   3 t   j → + 6   c o s   3 t   k →

Para t = 0 , temos:

| v → | t = 0 = e - 2 t + 36 t = 0 = 1 + 36 = 37

e

v → | v → | | t = 0 = 1 e - 2 t   +   36 - e - t   i →   - 6   s e n   3 t   j → + 6   c o s   3 t   k → t = 0

⇒ v → | v → | | t = 0 = 1 37 ( - 1 )   i → + ( 0 ) j → + 6   k → = - 1 37   i → + 6 37   k →

Passo 3

Por último, mas não menos importante, temos que escrever a velocidade da partícula como o produto de sua velocidade e versor, v → | v → | :

v e l o c i d a d e   ( t = 0 ) = | v → | v → | v → | = 37 - 1 37   i → + 6 37   k →

Até a próxima, galerinha!

Resposta

v → = - e - t   i →   - 6   s e n   3 t   j → + 6   c o s   3 t   k →

a → = e -   t   i → - ( 18 c o s   3 t ) j → - ( 18   s e n   3 t ) k →

| v → | t = 0 = 37

v → | v → | | t = 0 =   - 1 37   i → + 6 37   k →

v e l o c i d a d e   ( t = 0 ) = 37 - 1 37   i → + 6 37   k →

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