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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 21

Nos Exercícios 19-24, esboce a região de integração e calcule a integral.

∫ 0 ln ⁡ 8 ∫ 0 ln ⁡ y e x + y d x   d y

Passo 1

Olá pessoal, primeiramente vamos esboçar a nossa região de integração, onde:

Do enunciado temos a seguinte integral:

∫ 0 ln ⁡ 8 ∫ 0 ln ⁡ y e x + y d x   d y

Vamos, primeiro, derivar em função de x :

= ∫ 0 ln ⁡ 8 e x + y 0 ln ⁡ y d y

= ∫ 0 ln ⁡ 8 e ln ⁡ y + y - e 0 + y d y

= ∫ 0 ln ⁡ 8 e y y - e y d y

Passo 2

Agora iremos resolver em relação a y :

= ∫ 0 ln ⁡ 8 e y y d y - ∫ 0 ln ⁡ 8 e y d y

Para resolvermos a primeira integral, precisamos fazer a Integral por Partes:

∫ f d g = f g - ∫ g d f

Então temos o seguinte f = y                   d g = e y d y , logo:

d f = d y g = e y

Então:

∫ e y y   d y = y e y - ∫ e y d y

Passo 3

Voltando para integral original:

= y e y - ∫ 0 ln ⁡ 8 e y d y - ∫ 0 ln ⁡ 8 e y d y

= y e y - 2 ∫ 0 ln ⁡ 8 e y d y

= y e y - 2 e y 0 ln ⁡ 8

= ln ⁡ 8 ∙ e ln ⁡ 8 - 2 e ln ⁡ 8 - 0 ∙ e 0 - 2 e 0

= ln ⁡ 8 ∙ 8 - 16 + 2

= 8 ln ⁡ 8 - 14

Tchau! Até mais.

Resposta

8 ln ⁡ 8 - 14 .

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