Nos Exercícios 19-24, esboce a região de integração e calcule a integral.

∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ x y d y   d x

Passo 1

Olá pessoal, primeiramente vamos esboçar a nossa região de integração, onde:

Do enunciado temos a seguinte integral:

∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ x y d y   d x

Vamos, primeiro, derivar em função de y :

= ∫ 0 π y 2 2 0 sen ⁡ x d x

= ∫ 0 π sen ⁡ x 2 2 - 0 2 2 d x

= ∫ 0 π sen 2 ⁡ x 4 d x

Passo 2

Para resolvermos a integral, iremos colocar a constante para fora:

= 1 4 ∫ 0 π sen 2 ⁡ x d x

Além disso, sabemos que:

∫ sen 2 ⁡ u d u = u 2 + sen ⁡ 2 u 4

Logo:

= 1 4 ∙ x 2 + sen ⁡ 2 x 4 0 π

= 1 4 ∙ π 2 + sen ⁡ 2 π 4 - 0 2 + sen ⁡ 2 ∙ 0 4

= 1 4 ∙ π 2 + 0

= π 8

Resposta

π 8

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