Nos Exercícios 9-18, escreva a integral iterada de ∬ R   d A sobre a região descrita R utilizando (a) seções transversais verticais, (b) seções transversais horizontais.

Limitada por y = e - x , y = 1 e x = ln ⁡ 3 .

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer este exercício juntos!

Como estamos diante da avaliação ∬ R   f x ,   y d A , vamos seguir os três passos a seguir:

  1. Vamos fazer um esboço da região de integração e identificar as curvas limitantes:
  2. Passo 2

  3. Para as retas verticais (item a.) vamos imaginar uma reta vertical L , que corta R na direção de valores de y crescentes. Vamos marcar os valores de y onde L entra e sai de R . E iremos escolher os limites de integração de x que incluam todas as restas verticais através de R :
  4. Sendo assim, utilizando as seções transversais verticais, a região de integração de y :

    e - x ≤ y ≤ 1

    Já para a região de x temos:

    0 ≤ x ≤ ln ⁡ 3

    Passo 3

  5. Para utilizarmos seções transversais horizontais (item b.) vamos utilizar retas horizontais em vez de verticais:

E agora, utilizando as seções transversais horizontais, a região de integração de x :

- ln ⁡ y ≤ x ≤ ln ⁡ 3

E a região de y , a menor região é quando x = ln ⁡ 3 , ou seja:

y = e - ( ln ⁡ 3 ) = 1 3

Então temos:

1 3 ≤ y ≤ 1

Tchau pessoal, até mais!

Resposta

  1. e - x ≤ y ≤ 1 ,
  2. 0 ≤ x ≤ ln ⁡ 3 .

  3. - ln ⁡ y ≤ x ≤ ln ⁡ 3 ,

1 / 3 ≤ y ≤ 1 .

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