Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt no valor dado de t.

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ,     x = cos ⁡ t ,     y = sin ⁡ t ,     z = 4 t ;     t = 3  

Passo 1

Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??

“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?

Vamos considerar a função dada no exercício w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 , onde

x = cos ⁡ t ,     y = sin ⁡ t ,     z = 4 t ;     t = 3

  1. O objetivo é expressar d w / d t em função de t. Usaremos a regra da cadeia. Além do mais, iremos expressar w em termos de t e diferenciando diretamente em relação a t .

    2. Usando a regra da cadeia para expressão d w / d t como uma função de t conforme mostrarei a seguir:

    Para isso iremos encontrar alguns valores para, x , y   e   z

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2

    = 1 x 2 + y 2 + z 2   ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

    ∂ w ∂ x = 2 x x 2 + y 2 + z 2

    ∂ w ∂ y = 2 y x 2 + y 2 + z 2

    ∂ w ∂ z = 2 z x 2 + y 2 + z 2

    d x d t = - sin ⁡ t

    d y d t = cos ⁡ t

    d z d t = 4 2 t  

    Passo 2

    Desta maneira

    d w d t = 2 x x 2 + y 2 + z 2 - sin ⁡ t + 2 y x 2 + y 2 + z 2 cos ⁡ t + 2 z x 2 + y 2 + z 2 4 × 1 2 t

    d w d t = - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 16 t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 16 t + 4 × 4 t t cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 16 t

    d w d t = - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t 1 + 16 t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t 1 + 16 t + 4 × 4 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 16 t

    d w d t = 16 1 + 16 t

    Passo 3

    Com o cálculo direto,

    w = ln ⁡ ( cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 16 t )

    w = ln ⁡ 1 + 16 t

    d w d t = 16 1 + 16 t

    Passo 4

  2. O objetivo é avaliar d w / d t com t = 3

d w d t t = 3 = 16 1 + 16 3

= 16 49

“OK, isso foi legal.”

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.19. T = F ( p ,q ,r ) , no qual p = p ( x ,y ,z ) , q = q ( x ,
17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.20. R ( t ,u ) , no qualt = t ( w ,x ,y ,z ) , u = u ( w ,x ,y
Se z = 1 x f x - y + g x + y , mostre que: ∂ ∂ x x ² ∂ z ∂ x = x ² ∂ 2 z ∂ y 2 ² ²
Se z = 1 y f a x + y + g a x - y , mostre que: ∂ 2 z ∂ x 2 = a 2 y 2 ⋅ ∂ ∂ y y 2 ⋅ ∂ z ∂ y
Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = x e^((2 x y^2)) x = 2 t y = 3 t - 1