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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt no valor dado de t.

w = x 2 + y 2 ,     x = cos ⁡ t ,     y = s e n   t ;     t = π

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

“Se alguma coisa está dificil de ser feita, é porque não é para ser feita" # sóquenão”

  1. Usaremos a seguinte regra da cadeia para funções de uma variável independente e duas fórmulas de variáveis intermediárias para encontrar a diferenciação da função dada da seguinte maneira:

    2. Suponha que w = f ( x , y ) é diferenciável e x ,   y são funções diferenciáveis de t , então w é uma função diferenciável de t

    d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t

    Vamos considerar

    w = x 2 + y 2

    Agora a diferencial parcial de w em relação a x , y e respectivamente

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2

    = ∂ ∂ x x 2 + ∂ ∂ x y 2

    = 2 x + 0

    ∂ w ∂ x = 2 x

    De forma similar

    ∂ w ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2

    = ∂ ∂ y x 2 + ∂ ∂ y y 2

    = 0 + 2 y

    ∂ w ∂ y = 2 y

    Passo 2

    Agora iremos diferenciar as funções x , y em relação a t

    d x d t = d d t cos ⁡ t

    d x d t = - sin ⁡ t

    d y d t = d d t sin ⁡ t

    = cos ⁡ t

    Substituindo todos os valores acima na fórmula da regra da cadeia iremos obter d w / d t

    d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t

    = 2 x - sin ⁡ t + 2 y cos ⁡ t

    = - 2 x sin ⁡ t + 2 y cos ⁡ t

    = - 2 ( cos ⁡ t ) sin ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t

    d w d t = 0

    Passo 3

  2. Para avaliar d w / d t da t = π

Pela parte a, temos

d w d t t = π = 0

Passo 2

Certo, cérebro, eu não gosto de você e nem você de mim, então faça tudo certo pelo menos uma vez para que eu possa continuar te matando com estudos, certo?

Resposta

Resposta nos passos.

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .11. z = e r cos ⁡ θ ,r = s t ,θ = s 2 + t 2
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Use a regra da cadeia para achar d z d t z = t g - 1 y x ,x = e t ,y = 1 - e - t
Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t z = x ln ⁡ x + 2 y , x = s e nt ,y = cos ⁡ t
Use a regra da cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t .6- w = x y + y z 2 ,x = e t , y = e ts e nt ,z = e t cos ⁡ t