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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt no valor dado de t.

w = 2 y e x - ln ⁡ z       x = ln ⁡ t 2 + 1 ,       y = t g - 1 t ,       z = e t ;       t = 1

Passo 1

E aí meus amores nessa questãozinha “Pegue o que puder, sem nada a devolver” okay?

Foi dado que

w = 2 y e x - ln ⁡ z       x = ln ⁡ t 2 + 1

y = t g - 1 t ,       z = e t ;       t = 1

Passo 2

Vamos aplicar a regra da cadeia

d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

Para x:

∂ w ∂ x = ∂ ∂ x 2 y e x - ln ⁡ z = 2 y e x

d x d t = d d t = ln ⁡ t 2 + 1 = 2 t t 2 + 1

Para y:

∂ w ∂ y = ∂ ∂ y 2 y e x - ln ⁡ z = 2 e x

d y d t = d d t = tan - 1 ⁡ t = 1 1 + t 2

Para z:

∂ w ∂ z = ∂ ∂ z 2 y e x - ln ⁡ z = - 1 z

d z d t = d d t = ( e t ) = e t

Passo 3

Nós temos

d w d t = 2 y e x 2 t t 2 + 1 + 2 e x 1 1 + t 2 + - 1 z e t

= 4 t y e x t 2 + 1 + 2 e x 1 + t 2 - e t z

Agora, substituímos nos valores de x, y e z.

d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ t ⋅ e ln ⁡ t 2 + 1 t 2 + 1 + 2 e ln ⁡ t 2 + 1 1 + t 2 - e t e t

d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ t ⋅ ( t 2 + 1 ) t 2 + 1 + 2 ( t 2 + 1 ) 1 + t 2 - e t e t

d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ t ⋅ ( t 2 + 1 ) t 2 + 1 + 1

d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ t + 1

Passo 4

Com cálculo direto

w = 2 tan - 1 ⁡ + e ln ⁡ t 2 + 1 - ln ⁡ e t

d w d t = 2 tan - 1 ⁡ + e ln ⁡ t 2 + 1 2 t t 2 + 1 + e ln ⁡ t 2 + 1 t 2 + 1 - e t e t

d w d t = 4 t tan - 1 ⁡ + e ln ⁡ t 2 + 1 t 2 + 1 + 2 e ln ⁡ t 2 + 1 t 2 + 1 - e t e t

d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ + ( t 2 + 1 ) t 2 + 1 + 2 ( t 2 + 1 ) 1 + t 2 - e t e t

d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ + ( t 2 + 1 ) t 2 + 1 + 1

d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ t + 1

Passo 5

(b) Nós temos que t = 1

d w d t t = 1 = 4 1 tan - 1 ⁡ ( 1 ) + 1

= 4 π 4 + 1

= π + 1

Depois dessa questão, “Ninguém se mexe” Meu cérebro caiu.”

Haha bora pra proximaaaa

Resposta

(a) d w d t = 4 t ⋅ tan - 1 ⁡ t + 1

(b)

π + 1

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Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = ln (x^2 + y^2) x = 2 t + 1 y = 4 t^2 - 5