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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 19

17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

19. T = F ( p ,   q ,   r ) , no qual p = p ( x ,   y ,   z ) , q = q ( x ,   y ,   z ) e r = r ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Oie, meu amigo. Pronto para mais uma resolução?

Temos uma função dada por 3 variaveis:

T = F ( p ,   q ,   r )

E essas variáveis são em função de outras variáveis:

p = p ( x ,   y ,   z )

q = q ( x ,   y ,   z )

r = r ( x ,   y ,   z )

Devemos então utilizar um diagrama em arvore para encontrar as derivadas parciais:

∂ T ∂ x ;   ∂ T ∂ y   ; ∂ T ∂ z

Que necessitam da regra da cadeia para serem encontradas, já que temos aqui composições de funções.

Passos para construir o diagrama em árvore:

  1. Raiz do diagrama: A função T .
  2. Primeiro nível: As funções p , q e r , que são argumentos de F .
  3. Segundo nível: As variáveis x , y e z , que são argumentos de p , q e r .

Passo 2

Fazendo o diagrama de árvore para facilitar a visualização das variáveis, teremos:

Então para a gente utilizar a arvore a gente faz o seguinte:

Identifique as relações de derivadas parciais:

  • Para cada variável intermediária ( p , q , r ), identifique as derivadas parciais da função principal ( T ) em relação a elas.
  • Para cada variável básica ( x , y , z ), identifique as derivadas parciais das variáveis intermediárias ( p , q , r ) em relação a elas.
  • Para cada variável básica ( x , y , z ), some os produtos das derivadas parciais de cada caminho da raiz até a variável básica.

E está aí nossas derivadas!

Para encontrar a derivada em relação a x :

Para o caminho T → p → x :

∂ T ∂ x ⋅ ∂ p ∂ x

Para o caminho T → q → x :

∂ T ∂ q ⋅ ∂ q ∂ x

E para o caminho T → r → x :

∂ T ∂ r ⋅ ∂ r ∂ x

Somando todos os caminhos:

∂ T ∂ x = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ x

A gente repete esse processo para as outras derivadas e encontra:

∂ T ∂ y = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ y

∂ T ∂ z = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ T �� r ∂ r ∂ z

Resposta

∂ T ∂ x = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ x

∂ T ∂ y = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ y

∂ T ∂ z = ∂ T ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ T ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ T ∂ r ∂ r ∂ z

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