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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt no valor dado de t.

w = z - sin ⁡ x y       x = t ,       y = ln ⁡ t ,       z = e t - 1 ;       t = 1

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“Em tempos de crise, os sábios constroem pontes, enquanto os tolos constroem muros” (T'Challa)”

Vamos considerar a função dada no exercício

w = z - sin ⁡ x y

      x = t ,       y = ln ⁡ t ,       z = e t - 1 ;       t = 1

  1. O objetivo é expressar d w / d t   em função de t. Usaremos a regra da cadeia. Além do mais, expressaremos w em termos de t e iremos diferenciar diretamente em relação a t.

    2. Aplicando a regra da cadeia

    d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

    Pois w em função de x t ,   y t ,   z ( t ) :

    Temos

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x ( z - sin ⁡ x y )

    = - y c o s   x y

    ∂ w ∂ y = - x cos ⁡ x y

    ∂ w ∂ z = ∂ w ∂ x ( z - sin ⁡ x y )

    ∂ w ∂ z = 1

    Passo 2

    E dado no enunciado que:

          x = t ,       y = ln ⁡ t ,       z = e t - 1 ;       t = 1

    d x d t = 1

    d y d t = 1 t

    d z d t = d d t ( e t - 1 )

    Substituindo os valores na equação a seguir, teremos

    d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

    d w d t = - y cos ⁡ x y 1 + 1 t - x cos ⁡ x y + 1 e t - 1

    d w d t = - y cos ⁡ x y - x cos ⁡ x y   t + e t - 1

    d w d t = - ln ⁡ t cos ⁡ t ln ⁡ t - t cos ⁡ t ln ⁡ t t + e t - 1

    d w d t = e t - 1 - ln ⁡ t   + 1 cos ⁡ ( t ln ⁡ t )

    Passo 3

    Com cálculo direto, iremos encontrar d w / d t

    Dado que x = t ,   y = ln ⁡ t ,   z = e t - 1

    Substituindo esses valores em w = z - sin ⁡ x y

    w = e t - 1 - sin ⁡ t ln ⁡ t

    d w d t = e t - 1 - cos ⁡ ( t ln ⁡ t ) t ⋅ 1 t + ln ⁡ t ⋅ 1

    d w d t = e t - 1 - cos ⁡ t ln ⁡ t 1 + ln ⁡ t

    Passo 4

  2. Em t = 1

d w d t t = 1 = e 1 - 1 - cos ⁡ 1 ⋅ ln ⁡ 1 ⋅ 1 + ln ⁡ 1

= e 0 - cos ⁡ 0

= 1 - 1

d w d t t = 1 = 0

"Nós devemos um jeito de cuidar uns dos outros, como se fossemos uma única tribo." (T'Challa)

Resposta

  1. d w d t = e t - 1 - cos ⁡ t ln ⁡ t 1 + ln ⁡ t
  2. d w d t t = 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

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Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = t g (x^2 + y) , x = 2 t , y = t^2
Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = l n x y x = 2 t^2 y = t^2 + 2
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = a r c t g x y , x = 2 t , y = 3 t
Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + e^(x y) , com x (t) = (1)/(t) e y (t) = sqrt(t) , encontrar (d h)/(d t) onde h (t) = f (x (t) , y (t)) .