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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 6

Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia

z = (x)/(y) , x = e^(- t) , y = l n t

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y = f (x) e x = h ( t ) tem se

(d y)/(d t) = (d f (x))/(d x) . (d x)/(d t)

Se ambas f e h forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z = f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g (t) e y = h (t) diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

(d f (x , y))/(d t) = (del f (x , y))/(del x) . (d x ( t_0 ))/(d t) + (del f (x , y))/(del y) . (d y (t_0))/(d t)

(del f (x , y))/(del x) = (1)/(y)

(del f (x , y))/(del y) = - (x)/(y^2)

(d x ( t ))/(d t) = - e^(- t)

(d y (t))/(d t) = (1)/(t)

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

(d f (x , y))/(d t) = (1)/(y) xx (- e^(- t)) - (x)/(y^2) xx (1)/(t) =

Deixando tudo numa só variável (t)

= (1)/(ln t) xx (- e^(- t)) - (e^(- t))/(ln^2 t) xx (1)/(t) =

Resposta

(1)/(ln t) xx (- e^(- t)) - (e^(- t))/(ln^2 t) xx (1)/(t)

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