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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 10

Nos Exercícios 9 e 10, (a) expresse ∂ w / ∂ u e ∂ w / ∂ v como funções de u e v utilizando a regra da cadeia e também expressando w diretamente em termos de u e v antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule ∂ w / ∂ u e ∂ w / ∂ v no ponto dado u ,   v .

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 , x = u e v sen ⁡ u , y = u e v cos ⁡ u , z = u e v ; u ,   v = - 2 ,   0

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia para duas variáveis independentes e três variáveis intermediária.

Suponha que w = f x ,   y ,   z , x = g u ,   v , y = h u ,   v e z = k u ,   v . Se todas as quatro funções foram diferenciáveis, então w terá derivadas parciais em relação a u e v , dadas pelas fórmulas:

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ u

∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ v

Sendo assim, vamos calcular primeiramente as derivadas ∂ w / ∂ x , ∂ w / ∂ y e ∂ w / ∂ z . Do enunciado temos:

w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2

Sabemos que a derivada do l n é:

y = ln ⁡ u → y ' = u ' u

Para a derivada em relação a x , y e z , respectivamente:

∂ w ∂ x = 2 x x 2 + y 2 + z 2

∂ w ∂ y = 2 y x 2 + y 2 + z 2

∂ w ∂ z = 2 z x 2 + y 2 + z 2

Substituindo em ∂ w / ∂ x os valores de x , y e z dadas no enunciado:

∂ w ∂ x = 2 ∙ u e v sen ⁡ u u e v sen ⁡ u 2 + u e v cos ⁡ u 2 + u e v 2 = 2 ∙ u e v sen ⁡ u u 2 e 2 v sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u + 1

Sabemos que:

sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1

Então:

= 2 ∙ u e v sen ⁡ u 2 ∙ u 2 e 2 v = e - v sen ⁡ u u

Fazendo o mesmo para ∂ w / ∂ y e ∂ w / ∂ z :

∂ w ∂ y = e - v cos ⁡ u u

∂ w ∂ z = e - v u

Passo 2

Para fazermos as derivadas ∂ x / ∂ u , ∂ y / ∂ u e ∂ z / ∂ u , sabemos que:

y = sen ⁡ u → y ' = u ' cos ⁡ u

y = cos ⁡ u → y ' = - u ' sen ⁡ u

A derivada em relação a x :

x = u e v sen ⁡ u

∂ ∂ u u e v sen ⁡ u

Como nossa derivada é em u , podemos tirar o termo e v :

e v ∂ ∂ u u sen ⁡ u

Para resolvermos essa derivada, precisamos da Regra do Produto:

∂ ∂ r r ,   s = s ∂ r ∂ r + r ∂ s ∂ r

Considerando:

r = u               s = sen ⁡ u

Então temos:

= ( sen ⁡ u ) ∙ 1 + u ∙ cos ⁡ u

Logo:

∂ x ∂ u = e v ∂ ∂ u u sen ⁡ u

∂ x ∂ u = e v sen ⁡ u + u cos ⁡ u

Considerando a mesma coisa, da Regra do Produto, para a derivada de ∂ y / ∂ u , temos:

∂ y ∂ u = e v cos ⁡ u - u sen ⁡ u

E para ∂ z / ∂ u :

∂ z ∂ u = e v

Juntando as derivadas que encontramos:

∂ w ∂ u = e - v sen ⁡ u u ∙ e v sen ⁡ u + u cos ⁡ u + e - v cos ⁡ u u ∙ e v cos ⁡ u - u sen ⁡ u + e - v u ∙ e v

= 1 + sen 2 ⁡ u + u sen ⁡ u cos ⁡ u + cos 2 ⁡ u - u sin ⁡ u cos ⁡ u u = 1 + 1 u

∂ w ∂ u = 2 u

Passo 3

E as derivadas em relação a v , precisamos saber que:

y = e u → y ' = u ' e u

Então:

∂ x ∂ v = u e v sen ⁡ u

∂ y ∂ v = u e v cos ⁡ u

∂ z ∂ v = u e v

Sendo assim, para:

∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ v

Temos:

∂ w ∂ v = e - v sen ⁡ u u ∙ u e v sen ⁡ u + e - v cos ⁡ u u ∙ u e v cos ⁡ u + e - v u ∙ u e v

= sen 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u + 1 = 1 + 1

∂ w ∂ v = 2

Passo 4

No item (b) queremos calcular os ∂ w / ∂ u e ∂ w / ∂ v no ponto - 2 ,   0 , logo:

∂ w ∂ u = 2 u = 2 - 2 = - 1

∂ w ∂ v = 2

Tchau pessoal, te espero em mais exercícios.

Resposta

  1. ∂ w ∂ u = 2 u , ∂ w ∂ v = 2

  2. ∂ w ∂ u = - 1 , ∂ w ∂ v = 2

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