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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 12

Nos Exercícios 11 e 12, (a) expresse ∂ u / ∂ x , ∂ u / ∂ y e ∂ u / ∂ z como funções de x , y e z utilizando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x , y e z antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule ∂ u / ∂ x , ∂ u / ∂ y e ∂ u / ∂ z no ponto dado x ,   y ,   z .

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia para duas variáveis independentes e três variáveis intermediárias.

Suponha que u = f p ,   q ,   r , p = g x ,   y ,   z , q = h x ,   y ,   z e r = k x ,   y ,   z . Se todas as quatro funções foram diferenciáveis, então u terá derivadas parciais em relação a p , q e r , dadas pelas fórmulas:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x

∂ u ∂ y = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ y

∂ u ∂ z = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ z

Sendo assim, vamos calcular primeiramente as derivadas ∂ u / ∂ p , ∂ u / ∂ q e ∂ u / ∂ r . Do enunciado temos:

u = e q r p  

Para a derivada em relação a p , só iremos derivar a parte p   , onde sabemos que:

y = u   → y ' = 1 1 - u 2

Logo:

∂ u ∂ p = e q r 1 1 - p 2 = e q r 1 - p 2

Já quando vamos derivar em função de q e r , precisamos relembrar que:

y = e u → y ' = u ' ∙ e u

Então temos:

∂ u ∂ q = r e q r p  

E:

∂ u ∂ r = q e q r p  

Substituindo em ∂ u / ∂ p os valores de p , q e r dadas no enunciado:

∂ u ∂ p = e z 2 l n l n   y   1 z 1 - x   = y z x  

Fazendo o mesmo para ∂ u / ∂ q e ∂ u / ∂ r :

∂ u ∂ q = 1 z ∙ y z ∙ x     = y z ∙ x     z

∂ u ∂ r = z 2 l n l n   y   ∙ y z ∙ x    

Passo 2

Para fazermos as derivadas ∂ p / ∂ x , ∂ q / ∂ x e ∂ r / ∂ x , do enunciado temos:

{ p = x         q = z 2 l n l n   y     r = 1 z                      

Logo:

{ ∂ p ∂ x = c o s c o s   x     ∂ q ∂ x = 0                 ∂ r ∂ x = 0                

Para y e z , respectivamente:

{ ∂ p ∂ y = 0       ∂ q ∂ y = z 2 y   ∂ r ∂ y = 0      

{ ∂ p ∂ z = 0                       ∂ q ∂ z = 2 z l n l n   y     ∂ r ∂ z = - 1 z 2        

Passo 3

Sendo assim, para:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x

Temos:

∂ u ∂ x = y z x   ∙ c o s c o s   x   + y z ∙ x     z ∙ 0 + z 2 l n l n   y   ∙ y z ∙ x     ∙ 0

∂ u ∂ x = y z ∙ c o s c o s   x   x  

Fazendo o mesmo para ∂ u / ∂ y :

∂ u ∂ y = y z x   ∙ 0 + y z ∙ x     z ∙ z 2 y + z 2 l n l n   y   ∙ y z ∙ x     ∙ 0

∂ u ∂ y = y z - 1 z x    

E ∂ u / ∂ z :

∂ u ∂ z = y z x   ∙ 0 + y z ∙ x     z ∙ 2 z l n l n   y   + z 2 l n l n   y   ∙ y z ∙ x     ∙ - 1 z 2

= 2 y z l n l n   y   ∙ x     - y z l n l n   y   ∙ x    

∂ u ∂ z = y z l n l n   y   ∙ x    

Passo 4

No item (b) queremos calcular ∂ u / ∂ x , ∂ u / ∂ y e ∂ u / ∂ z no ponto π 4 , 1 2 ,   - 1 2 , logo:

∂ u ∂ x = 1 2 - 1 2 ∙ c o s c o s   π 4   π 4   = 2 ∙ 1 2 1 2

∂ u ∂ x = 2

∂ u ∂ y = 1 2 - 1 2 - 1 ∙ - 1 2 ∙ π 4    

∂ u ∂ y = 1 2 - 3 2 ∙ - 1 2 ∙ π 4 = - 2 2 2 ∙ π 4

∂ u ∂ y = - π 2 4

∂ u ∂ z = 1 2 - 1 2 ∙ l n l n   1 2   ∙ π 4    

∂ u ∂ z = 2 ∙ - l n l n   2   ∙ π 4 = - π l n l n   2   2 4

∂ u ∂ z = - π l n l n   2   2 2

Tchau pessoal!

Resposta

  1. ∂ u ∂ x = y z ∙ c o s c o s   x   x   , ∂ u ∂ y = y z - 1 z x     , ∂ u ∂ z = y z l n l n   y   ∙ x    

  2. ∂ u ∂ x = 2 , ∂ u ∂ y = - π 2 4 , ∂ u ∂ z = - π l n l n   2   2 2

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