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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 28

Considerando que as equações nos Exercícios 25-28 definem y como uma função derivável de x , utilize o Teorema 8 para encontrar o valor de d y / d x no ponto dado.

x e y + sen ⁡ x y + y - ln ⁡ 2 = 0 ,             0 , ln ⁡ 2

Passo 1

Oi pessoal, primeiro vamos relembrar o Teorema 8, que é a fórmula para diferenciação implícita

Suponha que F x ,   y seja diferenciável e que a equação F x ,   y = 0 defina y como uma função diferenciável de x . Então, em qualquer ponto onde F y ≠ 0 :

d y d x = - F x F y

Do enunciado, temos:

x e y + sen ⁡ x y + y - ln ⁡ 2 = 0

E pelas regras da derivada, sabemos que:

y = sen ⁡ u → y ' = u ' cos ⁡ u

E:

y = e u → y ' = u ' e u

Passo 2

Sabendo disso, vamos calcular a derivada em x :

F x = e y + y cos ⁡ x y

E em y :

F y = x e y + x cos ⁡ x y + 1

Então temos:

d y d x = - e y + y cos ⁡ x y x e y + x cos ⁡ x y + 1

Passo 3

Substituindo o ponto 0 , ln ⁡ 2 :

d y d x = - e ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 cos ⁡ 0 ∙ ln ⁡ 2 0 ∙ e ln ⁡ 2 + 0 cos ⁡ 0 ∙ ln ⁡ 2 + 1 = - 2 + ln ⁡ 2 1

d y d x = - 2 - ln ⁡ 2

Tchau pessoal.

Resposta

d y / d x = - 2 - ln ⁡ 2   .

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