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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 2

Use a regra da cadeia para achar d z // d t .

z = cos ( x + 4 y ) , x = 5 t^4 e y = 1 // t

Passo 1

A questão pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar d z // d t . Note que z é uma função de x e y , que são, por sua vez, funções de t . Então, na realidade, z é função do tempo apenas!

Assim, pela regra da cadeia:

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) * (d x)/(d t) + (del z)/(del y) * (d y)/(d t)

As derivadas parciais de z são

(del z)/(del x) = - s e n ( x + 4 y )

(del z)/(del y) = - 4 s e n ( x + 4 y )

Passo 2

Já as derivadas de x e y com relação a t são:

(d x)/(d t) = 20 t^3

(d y)/(d t) = - (1)/(t^2)

Portanto,

(d z)/(d t) = - 20 t^3 s e n (x + 4 y) - 4 s e n (x + 4 y) * (- (1)/(t^2))

Logo,

(d z)/(d t) = ((4)/(t^2) - 20 t^3) s e n ( x + 4 y )

Ou ainda, substituindo x e y :

(d z)/(d t) = ((4)/(t^2) - 20 t^3) s e n (5 t^4 + (4)/(t))

Resposta

(d z)/(d t) = ((4)/(t^2) - 20 t^3) s e n (5 t^4 + (4)/(t))

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