Enunciado

Se z = f x - y , mostre que ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 0 .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a questão é SUPER direta sobre o que ela quer.

Seja a função z = f x - y . Devemos provar que:

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 0

Para prova que ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 0 é necessária a Regra da Cadeia, pois estamos tratando de funções compostas por outras.

Para provarmos, iremos realizar algumas modificações para aplicar a regra da cadeia, iremos chamar:

N = x - y  

E deveremos fazer as seguintes regras da cadeia para encontrarmos as derivadas parciais para essa prova:

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ N ⋅ ∂ N ∂ x

E

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ N ⋅ ∂ N ∂ y

Passo 2

Vamos aos cálculos então:

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ N ⋅ ∂ N ∂ x

Como N = x - y :

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ N ⋅ 1

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ N

E:

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ N ⋅ ∂ N ∂ y

Como N = x - y :

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ N ⋅ - 1

Sendo assim:

∂ z ∂ y = - ∂ z ∂ N

Então substituindo na equação que queremos provar:

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ N + - ∂ z ∂ N = 0

Conseguimos provar então o que queremos.

Resposta

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