Seja a área de uma cultura de tecido em um instante e seja a área final do tecido quando o crescimento está completo. A maioria das divisões celulares ocorre na periferia do tecido, e o número de células na periferia é proporcional a . Assim, um modelo razoável para o crescimento do tecido é obtido assumindo-se que a taxa de crescimento da área seja conjuntamente proporcional a e .

(a) Formule uma equação diferencial e use-a para mostrar que o tecido cresce mais rápido quando

(b) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para . Use um sistema de computação algébrica para fazer a integração.

Agora temos que mostrar que o tecido cresce mais rápido, ou seja, que é máximo, quando . Mas como é mesmo que a gente acha o máximo global de uma função? Bom, pra começar, vamos derivadar a função que queremos maximizar e igualar a , pra achar pontos críticos, ok? Lembre-se de que aqui temos que usar a regra da cadeia para , pois ela depende de :

Então, relembre lá do Cálculo 1, é um ponto crítico, então vamos verificar o valor da função que a gente quer maximizar nos pontos críticos e nos extremos do domínio de :

De todos esses pontos, resultou no maior valor de , então ele é realmente o ponto onde a função atinge seu máximo global.

(b) Nesse item a gente vai resolver a equação diferencial que formulamos no item (a):

Repare que ela é do tipo separável:

Agora a gente integra cada lado, certo?

Mas pera, como será que resolve essa integral da esquerda? Sinceramente, não faço a mínima ideia de como começar! Mas, para nosso alívio, o exercício não nos exigiu resolver isso no braço, podemos utilizar um sistema de computação algébrica pra fazer a integração. Ufa!

Usando esse recurso, chegamos a: