Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 46
O ar em uma sala com volume contém de dióxido de carbono inicialmente. Ar mais fresco com apenas de dióxido de carbono entra na sala a uma taxa de e o ar misturado sai na mesma taxa. Encontre a porcentagem de dióxido de carbono na sala como uma função do tempo. O que acontece a longo prazo?
Passo 1
Ei, pessoal! Aqui a gente basicamente precisa encontrar uma equação diferencial que descreva o que tá acontecendo nessa situação, pra depois resolvê-la.
Veja, tá entrando e saindo ar com diferentes porcentagens de carbono. Se chamarmos de a concentração de dióxido de carbono na sala no instante , então seria a variação dessa concentração no tempo, depois a gente se preocupa em converter pra porcentagem. Basicamente, a gente tem que olhar pra quantidade que entra e que sai, e a velocidade ou taxa em que cada coisa acontece. Vamo lá?
Passo 2
Então, pessoal, vamos subtrair a taxa de saída de dióxido de carbono da taxa de entrada, não esquecendo de dividir pelo volume da sala, já que estamos buscando a variação da concentração:
Essas taxas não são as mesmas de entrada ou saída de ar, pois o ar não é feito somente de . Temos que saber qual a fração da taxa de entrada ou saída de ar corresponde à taxa de entrada ou saída de dióxido, e pra isso, basta multiplicar pelas respectivas concentrações de dióxido no ar.
O enunciado nos deu a concentração de para o ar que entra, e é a concentração do ar que sai:
Passo 3
Agora é só resolver a equação diferencial separável, botando cada variável pra um lado, e integrando separadamente:
No instante inicial, a concentração era , então e usamos isso pra calcular :
Agora substituímos o valor de e isolamos o :
Como o enunciado pede a porcentagem de dióxido em função do tempo, é só multiplicar a função por 100:
Passo 4
Beleza, galera? Ainda temos que descobrir o que vai acontecer a longo prazo. E Isso é o mesmo que calcular o limite da função que a gente já encontrou, quando , ok?
Bom, então o que acontece a longo prazo é que a concentração de dióxido de carbono na sala vai ficando cada vez mais próxima de .