Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 49
Quando uma gota de chuva cai, ela aumenta de tamanho; assim, sua massa em um instante , é uma função de A taxa do aumento da massa é para alguma constante positiva . Quando aplicamos a Lei do Movimento de Newton à gota de chuva, obtemos onde é a velocidade da gota de chuva (dirigida para baixo) e é a aceleração da gravidade. A velocidade terminal da gota de chuva é Encontre uma expressão para a velocidade terminal em termos de e
Passo 1
Bom, pessoal, nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade terminal. Mas, como informado pelo próprio enunciado, essa velocidade terminal é ou seja precisamos primeiro achar quem é , pra depois calcular esse limite.
O enunciado nos deu algumas informações envolvendo derivadas, falou em “taxa”, então é bem provável que a gente vai ter que montar uma equação diferencial pra achar ao resolvê-la, beleza?
Passo 2
Primeiro olha pra essa equação:
Vamos aplicar a regra de derivada do produto no lado esquerdo?
Agora, observe que o enunciado nos contou que a taxa de aumento da massa é e essa taxa é justamente , né?
Que beleza! Simplificamos a nossa vida cortando a massa:
Passo 3
No passo anterior, chegamos a uma equação diferenciável, e ela ainda é separável, quer ver?
Agora é só integrar cada lado:
Quando uma gota de chuva começa a cair, a velocidade inicial dela é nula, certo? Então a gente assume que pra achar a constante :
Pronto! Já temos o que precisamos:
Passo 4
Show! Agora vamos calcular o limite pra descobrir a velocidade terminal, beleza?