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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 17

Considere a população P = P t com taxas de natalidade e mortalidade relativas constantes α e β , respectivamente, e uma taxa de emigração constante m , onde α ,   β , e m são constantes positivas. Suponha que α > β . Então, a taxa de variação da população no instante t é modelada pela equação diferencial

d P d t = k P - m onde k = α - β

(a) Encontre a solução desta equação que satisfaça a condição inicial P 0 = P 0 .

(b) Que condições sobre m levarão a uma expansão exponencial da população?

(c) Que condições sobre m resultarão em uma população constante? E em um declínio da população?

(d) Em 1847 , a população da Irlanda era de cerca de 8 milhões e a diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade relativas era 1,6   % da população. Por causa da fome da batata nas décadas de 1840 e 1850 , cerca de 210000 habitantes por ano emigraram da Irlanda. A população estava crescendo ou decrescendo naquela época?

Passo 1

(a) Fala, galera! Vamos trabalhar com uma situação em que os nascimentos e as mortes não são as únicas causas de aumento ou diminuição da população, vamos também considerar o fator emigração. Nesse caso, a equação diferencial fica assim:

d P d t = k P - m

Bora resolver essa equação? Veja que ela é separável:

1 P - m k   d P = k   d t

Então integramos cada lado:

∫ 1 P - m k   d P = ∫ k   d t + C

ln ⁡ P - m k = k t + C

P - m k = C e k t

Usando a condição inicial P 0 = P 0 , descobrimos o valor de C e chegamos à solução:

P ( t ) = P 0 - m k e k t + m k

Passo 2

(b) Para haver um crescimento exponencial, precisamos que o fator que mulplica e k t na função que encontramos seja positivo. Do contrário, haveria um decrescimento exponencial, tá beleza?

P 0 - m k > 0

m < k P 0

Temos aí a nossa condição pra expansão exponencial, show?

Passo 3

(c) Pra ter uma população constante, o fator que multiplica e k t deve ser nulo, porque aí só vai restar o termo constante m k   na função   P ( t ) = P 0 - m k e k t + m k . Então vamo lá:

P 0 - m k = 0

m = k P 0

E pra ter um declínio, o fator deve ser negativo:

P 0 - m k < 0

m > k P 0

Passo 4

(d) Como vimos nos itens anteriores, o que determina se a população está crescendo, constante ou decrescendo é a relação entre m e k P 0   .   Então vamos calcular ambos pra saber o que tava acontecendo na situação da Irlanda, ok?

O enunciado nos deu que k = α - β , ou seja, a diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade relativas, e essa diferença era 1,6   % na Irlanda. Já a população inicial (em 1847 ) era de 8 milhões (ou 8000 milhares) de habitantes. Então:

k P 0 = 1,6 100   .   8000 = 128       ( e m   m i l h a r e s )

Mas 210000   (ou 210 milhares) de habitantes emigravam por ano, então:

m = 210 > 128 = k P 0

Assim, a população tava declinando, né galera?

Resposta

(a) P ( t ) = P 0 - m k e k t + m k

(b) m < k P 0

(c) m = k P 0

m > k P 0

(d) Declinando

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