Nos exercícios 15 a 20, parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:

x² - 4x + y² + 2y + z² + 1 = 0

Passo 1

x ²   -   4 x   +   y ²   +   2 y   +   z ²   +   1   =   0

Vamos complementar os quadrados

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 = - 1 + 4 + 1

x - 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 2 2

É uma esfera de raio a = 2 e centro r c = ( 2,1 , 0 )

Passo 2

Pela seção 10.2.1 a equação paramétrica da esfera centrada na origem de raio a é:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = a cos ⁡ v cos ⁡ u i → + a cos ⁡ v sen ⁡ u j → + a sen ⁡ u k →

Então, para uma esfera centrada em qualquer lugar, basta somar a equação anterior a um vetor que indique o centro da esfera:

r → ( u , v ) e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

Passo 3

Aplicando a lógica do passo anterior:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = 2 cos ⁡ v cos ⁡ u i → + 2 cos ⁡ v sen ⁡ u j → + 2 sen ⁡ u k →

O centro é:

r c = 2 i → + j →

Então a equação final é:

r → e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

r → e s f e r a = ( 2 cos ⁡ u cos ⁡ v + 2 ) i → + ( 2 cos ⁡ v sen ⁡ u + 1 ) j → + 2 sen ⁡ u k →

Dessa forma:

x = 2 cos ⁡ u cos ⁡ v + 2

y = 2 cos ⁡ v sen ⁡ u + 1

z = 2 sen ⁡ u

Passo 4

Como não há restrições sobre os limites, podemos dizer

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

Resposta

x = 2 cos ⁡ u cos ⁡ v + 2

y = 2 cos ⁡ v sen ⁡ u + 1

z = 2 sen ⁡ u

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

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