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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 19

Nos exercícios 15 a 20, parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:

x ²   -   4 x   +   y ²   +   2 y   +   z ²   +   1   =   0

Passo 1

x ²   -   4 x   +   y ²   +   2 y   +   z ²   +   1   =   0

Vamos complementar os quadrados

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 = - 1 + 4 + 1

x - 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 2 2

É uma esfera de raio a = 2 e centro r c = ( 2,1 , 0 )

Passo 2

Pela seção 10.2.1 a equação paramétrica da esfera centrada na origem de raio a é:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = a cos ⁡ v cos ⁡ u i → + a cos ⁡ v sen ⁡ u j → + a sen ⁡ u k →

Então, para uma esfera centrada em qualquer lugar, basta somar a equação anterior a um vetor que indique o centro da esfera:

r → ( u , v ) e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

Passo 3

Aplicando a lógica do passo anterior:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = 2 cos ⁡ v cos ⁡ u i → + 2 cos ⁡ v sen ⁡ u j → + 2 sen ⁡ u k →

O centro é:

r c = 2 i → + j →

Então a equação final é:

r → e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

r → e s f e r a = ( 2 cos ⁡ u cos ⁡ v + 2 ) i → + ( 2 cos ⁡ v sen ⁡ u + 1 ) j → + 2 sen ⁡ u k →

Dessa forma:

x = 2 cos ⁡ u cos ⁡ v + 2

y = 2 cos ⁡ v sen ⁡ u + 1

z = 2 sen ⁡ u

Passo 4

Como não há restrições sobre os limites, podemos dizer

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

Resposta

x = 2 cos ⁡ u cos ⁡ v + 2

y = 2 cos ⁡ v sen ⁡ u + 1

z = 2 sen ⁡ u

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

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Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r → u , v = 2 s e nu i → + 3 cos ⁡ u j → + v k → ,0 ≤ v ≤ 2
Encontre uma parametrização para o hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 .
Considere a superfície parametrizada por φ r , θ = r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ ,θ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 4 π Esboce essa superfície.
Dada a esfera de raio 2 , centrada na origem, encontra a equação do plano tangente a ela no ponto 1,1 ,2 , considerando a esfera como:c) o gráfico de g x , y = 4 - x 2 - y 2 .
Dada a esfera de raio 2 , centrada na origem, encontre a equação do plano tangente a ela no ponto 1,1 , 2 , considerando a esfera como:Uma superfície parametrizada por φ ϕ ,θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,2 si