Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 24

Movimento ao longo de um círculo Mostre que a função a valores vetoriais

r → ( t ) = ( 2 i → +   2   j → + k → ) + c o s   t   ( 1 2 i → - 1 2   j → ) + s e n   t   ( 1 3 i → + 1 3   j → + 1 3   k → )

descreve o movimento de uma partícula que se move no círculo de raio 1 centrado no ponto ( 2,2 , 1 ) e permanece no plano x + y - 2 z = 2 .

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais uma resolução bem no estilo Responde Aí? Vamos lá!

Vamos começar reescrevendo o vetor posição da seguinte forma

r → ( t ) = 2 + 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t i → + 2 - 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t j → + 1 + 1 3 s e n   t k →

Ok, com isso ficamos com um vetor posição do tipo

r → ( t ) = x ( t ) i → + y ( t ) j → + z ( t ) k →

Para mostrar que r → ( t ) descreve o movimento de uma partícula que se move no círculo de raio 1 centrado no ponto ( 2,2 , 1 ) e permanece no plano x + y - 2 z = 2 , temos que mostrar que x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) satisfazem tanto a equação do plano quanto a equação do círculo:

( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1

Acompanha aí os próximos passos.

Passo 2

Vamos testar se x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) satisfazem x + y - 2 z = 2 , fazendo substituição direta

x ( t ) + y ( t ) - 2 z ( t ) = 2 + 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t + 2 - 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t - 2 - 2 3 s e n   t

⇒ x ( t ) + y ( t ) - 2 z ( t ) = ( 2 + 2 - 2 ) + 1 2 - 1 2 c o s t + 1 3 + 1 3 - 1 3 s e n   t

⇒ x ( t ) + y ( t ) - 2 z ( t ) = 2

Check!

Passo 3

Agora, só falta testar se x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) satisfazem ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1 . Nós temos

( x - 2 ) 2 = 2 + 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t - 2 2 = 1 2 c o s 2 t + 1 3 s e n 2   t + 2 2 3 c o s   t   s e n   t

( y - 2 ) 2 = 2 - 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t - 2 2 = 1 2 c o s 2 t + 1 3 s e n 2   t - 2 2 3 c o s   t   s e n   t

( z - 1 ) 2 = 1 + 1 3 s e n   t - 1 2 = 1 3 s e n 2   t

Assim,

( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 2 2 c o s 2 t + 3 3 s e n 2   t = 1

Check de novo!

E aí, curtiu a resolução? Responde aí!

Resposta

Veja a resolução acima

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.a) t - 3 t - 3 i → + t 2 j → ,t ≠ 3 0 ,t = 3 em t = 0 e t = 3 .
Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + s e n t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 = t = 2 pi . Calcular:(d) vec a * vec f (t) + vec b
Sejam vec f (t) = t vec i + 2 t^2 vec j + 3 t^3 vec k e vec g (t) = 2 t vec i + vec j - 3 t^2 vec k , t = 0 . Calcular:(d) underset(t - 1)(lim) [ vec f (t) * vec g (t) ]
Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.b) t sen ⁡ 1 t i → + cos ⁡ t j → ,t ≠ 0 j → ,t = 0 em t = 0 .
Sejam vec f (t) = t vec i + 2 t^2 vec j + 3 t^3 vec k e vec g (t) = 2 t vec i + vec j - 3 t^2 vec k , t = 0 . Calcular:(g) underset(t - 0)(lim) [ vec f (t) xx vec g ( t ) ]