Movimento ao longo de um círculo Mostre que a função a valores vetoriais

r(t) = (2*i + 2*j + k) + cos(t/(raiz(2)*i) - 1/(raiz(2)*j)) + sen(t/(raiz(3)*i) + 1/(raiz(3)*j) + 1/(raiz(3)*k))

descreve o movimento de uma partícula que se move no círculo de raio 1 centrado no ponto (2,2, 1) e permanece no plano x + y - 2z = 2 .

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais uma resolução bem no estilo Responde Aí? Vamos lá!

Vamos começar reescrevendo o vetor posição da seguinte forma

r → ( t ) = 2 + 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t i → + 2 - 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t j → + 1 + 1 3 s e n   t k →

Ok, com isso ficamos com um vetor posição do tipo

r → ( t ) = x ( t ) i → + y ( t ) j → + z ( t ) k →

Para mostrar que r → ( t ) descreve o movimento de uma partícula que se move no círculo de raio 1 centrado no ponto ( 2,2 , 1 ) e permanece no plano x + y - 2 z = 2 , temos que mostrar que x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) satisfazem tanto a equação do plano quanto a equação do círculo:

( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1

Acompanha aí os próximos passos.

Passo 2

Vamos testar se x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) satisfazem x + y - 2 z = 2 , fazendo substituição direta

x ( t ) + y ( t ) - 2 z ( t ) = 2 + 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t + 2 - 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t - 2 - 2 3 s e n   t

⇒ x ( t ) + y ( t ) - 2 z ( t ) = ( 2 + 2 - 2 ) + 1 2 - 1 2 c o s t + 1 3 + 1 3 - 1 3 s e n   t

⇒ x ( t ) + y ( t ) - 2 z ( t ) = 2

Check!

Passo 3

Agora, só falta testar se x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) satisfazem ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1 . Nós temos

( x - 2 ) 2 = 2 + 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t - 2 2 = 1 2 c o s 2 t + 1 3 s e n 2   t + 2 2 3 c o s   t   s e n   t

( y - 2 ) 2 = 2 - 1 2 c o s t + 1 3 s e n   t - 2 2 = 1 2 c o s 2 t + 1 3 s e n 2   t - 2 2 3 c o s   t   s e n   t

( z - 1 ) 2 = 1 + 1 3 s e n   t - 1 2 = 1 3 s e n 2   t

Assim,

( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 2 2 c o s 2 t + 3 3 s e n 2   t = 1

Check de novo!

E aí, curtiu a resolução? Responde aí!

Resposta

Veja a resolução acima

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