Para resolver os exercícios 16 e 17 , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.Um objeto com vetor posição σ t = x t , y t se move ao longo da parábola y = x 2 - 4 . Sabendo que a componente horizontal do vetor aceleração em cada instante t é - 4x t , e que no instante t = 0 ele se encontra no ponto 0 , - 4 com vetor velocidade V 0 = 4,0 , pede-se:b) Qual o tempo necessário para o objeto voltar ao ponto inicial 0 , - 4 ?

Ponto inicial 0 , - 4 alcançado novamente para t = π 2

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 16b

Para resolver os exercícios e , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Um objeto com vetor posição se move ao longo da parábola . Sabendo que a componente horizontal do vetor aceleração em cada instante é , e que no instante ele se encontra no ponto com vetor velocidade , pede-se:

b) Qual o tempo necessário para o objeto voltar ao ponto inicial ?

Passo 1

Show, olha, todas as questõs pedem pra gente o vetor posição. Então bora lá. Pra começar, veja que:

Do enunciado que diz pra gente a componente horizontal do vetor aceleração, tiramos que:

E olha só! Uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes! Pra acharmos a solução, escrevemos a equação característica:

Eita! Raizes complexas na equação característica! Sendo assim a solução vai ter essa cara:

Onde:

Logo:

Agora falta determinar essas constantes, pra isso, temos, do enunciado:

Pra achar a outra constante, temos que usar a informação do enunciado:

Isso porque:

E logo:

Derivando:

Feshow a parametrização galera! Se temos:

Basta fazer:

E logo:

Passo 2

Bem, mas não queremos exatamente nessa questão né. Mas precisamos dele pra responder. Pra achar qual o tempo necessário para o objeto voltar ao ponto inicial basta fazer:

De forma geral, temos que:

Igualando:

Como é o instante inicial, o próximo instante é pra . Logo a resposta da letra é:

Resposta

Ponto inicial alcançado novamente para

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