Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 17b

Para resolver os exercícios e , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Uma partícula partindo do ponto se move com vetor posição . Sabe-se que o vetor velocidade em cada instante é dado por .

b) Determine o vetor posição

Passo 1

Bora lá. Pra começar, vamos lembrar que:

Então do enunciado, tiramos:

Isso tá estranho né, mas da pra ajeitar! O próprio sistema de equações nos permite isso. Saca só essa manipulação doida:

Derivando:

Da segunda linha do sistema de equações:

E temos ainda, seguindo a mesma lógica:

Logo:

O que dá um sistema de EDO de 2ª ordem com a mesma cara tanto pra quanto pra , logo o mesmo tipo de solução. A equação característica, nos dois casos, é a mesma:

Eita! Raizes complexas na equação característica! Sendo assim a solução vai ter essa cara:

Onde:

Logo:

Passo 2

Agora falta determinar essas constantes, pra isso temos, do enunciado, o ponto inicial:

Logo:

Usando essas duas informações:

O que já adianta a gente na modelagem do vetor posição um pouco:

Agora essa é a parte que falamos do vetor velocidade. Apertem os sinto que vai começar a ficar cheio de letras. Como ele é a derivada da posição...

Seja, da igualdade dos vetores velocidade do enunciado e da definição:

Temos o seguinte sistema de equações:

O que, arrumando, dá:

Agora a gente pode eliminar o pra achar o . Pra isso, multiplicamos a primeira linha por :

E a segunda linha por :

Somando as duas equações, os termos de somem e ficamos com:

Logo, fechamos o componente do vetor posição:

E da seguinte igualdade, tirada lá do vetor velocidade:

Tiramos:

Show de bola, então terminamos de modelar o vetor posição. Note que se antes tínhamos:

O valor de então é . Usando a gente descobre isso mais rápido do que terminando de resolver o sistema. O vetor posição será:

Resposta

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