Para resolver os exercícios 16 e 17 , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Uma partícula partindo do ponto 1 3 , 0 se move com vetor posição σ t = x t , y t . Sabe-se que o vetor velocidade em cada instante t é dado por V t = - y t , 3   x t .

  1. Mostre que, em cada instante t , o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição.

Passo 1

Show. Antes de mais nada, vale lembrar que, pra que A t e σ t sejam paralelos, deve valer:

A t = k ∙ σ t

Onde k é uma constante real qualquer. Beleza, agora, das definições, temos o seguinte:

σ t = x t , y t

V t = σ ' t = x ' t , y ' t

A t = σ ' ' t = x ' ' t , y ' ' t

E olha só, o enunciado dá pra gente uma informação de ouro pra resolver essa questão:

V t = x ' t , y ' t = - y t , 3   x t

x ' t = - y t y ' t = 3   x t

Isso tá estranho né? Mas da pra tirar informações valiosas disso! O próprio sistema de equações nos ajuda. Dá uma olhada nessa manipulação doida:

x ' t = - y t

y t = - x ' t

Derivando:

y ' t = - x ' ' t

Da segunda linha do sistema de equações, trocamos y ' t e ficamos com:

3   x t = - x ' ' t

x ' ' t = - 3 x t

Seguindo a mesma lógica, começando da segunda linha do sistema:

y ' t = 3   x t

y ' ' t = 3   x ' t

E da primeira linha, trocamos x ' t e ficamos com:

y ' ' t = - 3   y t

Logo:

x ' ' t = - 3   x t y ' ' t = - 3   y t

E seja:

A t = σ ' ' t = x ' ' t , y ' ' t

Fechamos então a questão!!! Afinal:

A t = - 3   x t , - 3   y t

A t = - 3 ∙   x t , y t

A t = - 3 ∙ σ t

Resposta

Os vetores são paralelos pois vale A t = - 3 ∙ σ t

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Sejam F → e G → definidas e deriváveis no intervalo I e com valores em R n . Suponha que para todo t ∈ I d F → d t t = d G → d t t Prove que existe um vetor c → = c 1 , c 2 , … , c n ∈ R n tal que G →
Determine vec r = vec r (t) sabendo que(d vec r)/(d t) = sen t vec i + cos 2 t vec j + (1)/(t + 1) vec k , t = 0 e vec r (0) = vec i - vec j + 2 vec k
Seja r → definida em R , com valores em R 3 e derivável até segunda ordem. Prove que se r → t × d r → d t t for constante em R , então r → t × d 2 r → d t 2 t = 0 → em R .
Seja F : I → R n derivável em t 0 ∈ I e seja E Δ t o erro que se comete na aproximação do acréscimo “ F t 0 + Δ t - F t 0 ” por “ F ' t 0 Δ t ”. Prove que E ( Δ t ) tende a 0 → mais rapidamente que Δ
Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .vec F (t) = root(3)(t^2) vec i + cos t^2 vec j + 3 t vec k