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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 9

Nos Exercícios de 1 a 10, prove a identidade.

9 ) cos h (3 x) = 4 c o s h ³ x - 3 . cosh x

Passo 1

Podemos manipular a equação para:

cos h (3 x) = c o s h ( 2 x + x )

Para provar a identidade precisamos lembrar que:

c o s h (x + y) = c o s h x . cosh y + s en h x . s e n h y

Então:

c o s h (2 x + x) = c o s h 2 x . cosh x + s en h 2 x . s e n h x

Pela identidade (13) e (15):

s e n h (2 x) = 2 . s e n h x . cosh x

cosh ( 2 x ) = 2 . c o s h ² x - 1

c o s h (2 x + x) = ( 2 . c o s h ² x - 1 ) . cosh x + ( 2 . s e n h x . cosh x ) . s e n h x

c o s h (2 x + x) = 2 . c o s h ³ x - cosh x + 2 . s e n h ² x . cosh x

c o s h (2 x + x) = 2 . c o s h x ( c o s h^2 x + s e n h^2 x ) - cosh x

Aplicando a identidade (6):

cosh ² x - 1 = s e n h ² x

c o s h (2 x + x) = 2 . c o s h x ( c o s h^2 x + cosh ² x - 1 ) - cosh x

c o s h (2 x + x) = 2 . c o s h x ( 2 c o s h^2 x - 1 ) - cosh x

c o s h (2 x + x) = 4 c o s h^3 x - 2 . c o s h x - cosh x

c o s h (2 x + x) = 4 c o s h^3 x - 3 . c o s h x

Concluindo:

cosh (3 x) = 4 c o s h ³ x - 3 . cosh x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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