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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 4

Dê exemplo de uma função definida em R , que não seja contínua em 2 , mas que lim x → 2 ⁺ ⁡ f x = lim x → 2 ⁻ ⁡ f x .

Passo 1

Beleza, vamos pensar numa função, que tal usar:

f x = x     s e     x ≠ 2 6     s e     x = 2

Para uma função ser contínua o limite aplicado em a dever ser igual a a aplicada na função:

lim x → a ⁡ f x = f a

Temos que ver se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se lim x → p ⁺ ⁡ f x = lim x → p ⁻ ⁡ f x = L então lim x → p ⁡ f x = L

Passo 2

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 2 pela direita:

lim x → 2 ⁺ ⁡ x = 2

Agora com   x tendendo a 2 pela esquerda:

lim x → 2 ⁻ ⁡ x = 2

Temos então que:

lim x → 2 ⁺ ⁡ x = lim x → 2 ⁻ ⁡ x = 2

Assim:

lim x → 2 ⁡ f x = 2

Passo 3

Vamos calcular agora f 2 :

f 2 = 6

Temos então que f não é contínua em 2 , pois:

lim x → 2 ⁡ f x ≠ f a

Resposta

f x = x     s e     x ≠ 2 6     s e     x = 2

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Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 2 - ⁡ f x
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 2⁡ f x
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 0⁡ f x
Seja h x =| x | x , s ex ≠ 0 0 , x = 0 Mostrar que h ( x ) não tem limite no ponto 0 .
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 1 ⁡ f x