Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 3
(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.
(b) Determine .
(c) Esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função vetorial:
Queremos esboçar o gráfico dessa curva. Para isso, a gente pode isolar o de uma das duas equações paramétricas e substituir em outra para deixarmos uma curva no formato .
Em seguinda, queremos determinar a derivada de . Para isso, vamos derivar separadamente cada uma das equações paramétricas em relação a .
Por fim, queremos esboçar o vetor posição e o vetor tangente para o valor .
Aqui basta a gente substituir o valor de dado nas duas equações e observar no gráfico!! 😉
Passo 2
Vamos primeiro plotar o gráfico!!
As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são:
Isolando-se na primeira equação obtemos .
Substituindo esse resultado na segunda equação, temos:
Passo 3
A função obtida no passo anterior é uma forma mais “familiar” da função vetorial .
É fácil perceber que trata-se de uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade para cima.
Abaixo está uma representação da curva dessa função.
Passo 4
Determinamos derivando as componentes de .
Temos que:
Derivando a primeira equação, temos:
E
Assim, substituindo, temos:
Passo 5
O vetor posição em é:
Por outro lado, o vetor tangente em , tem origem no ponto e é dado por:
Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:
Resposta
