Demonstre a fórmula 6 do Teorema 3.

d / dt [ u(f(t)) ] = f'(t) * u'(f(t))

Passo 1

Tomaremos

u (t) = [ u_1 (f ( t )) , u_2 (f ( t )) , u_3 (f ( t )) ]

Aplicando o Teorema 2, ou seja, derivando as componentes da função vetorial composta temos:

(d)/(d t) [u (f ( t ))] = [(d)/(d t) u_1 (f (t)) , (d)/(d t) u_2 (f (t)) , (d)/(d t) u_3 (f (t))]

Passo 2

Como as componentes de u ( t ) , são funções escalares, podemos aplicar a regra da cadeia usual para derivá-las. Assim temos:

(d)/(d t) [u (f (t))] = [f^' (t) u^'_1 (f (t)) ; f^' (t) u^'_2 (f (t)) ; f^' (t) u^'_3 (f (t))]

Passo 3

Colocando a função f ' ( t ) em evidência aplicando a propriedade de distributividade do produto de um escalar por um vetor temos:

(d)/(d t) [u (f (t))] = f^' (t) [u^'_1 (f (t)) ; u^'_2 (f (t)) ; u^'_3 (f (t))]

Ou seja,

(d)/(d t) [u (f (t))] = f^' (t) u^' (f ( t ))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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