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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 16

Determine a derivada da função vetorial.

r t = t a × ( b + t c )

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade. Aqui a gente precisa encontrar a equação da derivada da função vetorial:

r t = t a × ( b + t c )

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = x t a + y t b + z t c

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = x ' t a + y ' t b + z ' t c

Isso é, derivamos cada termo individualmente da equação paramétrica. Como temos um produto vetorial na nossa função, a primeira coisa a ser feita antes de realizarmos a derivada é justamente esse produto vetorial.

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = a t × ( b + t c )

Temos a função vetorial definida por um produto vetorial. Para resolvê-lo, podemos organizar os 2 vetores no seguinte determinante, sendo a segunda linha o primeiro vetor e a terceira o segundo:

r t = t a × b + t c = a b c t 0 0 0 1 t

r t = a 0 0 1 t - b t 0 0 t + c t 0 0 1

r t = t a × b + t c

r t = a 0 t - 0 - b t 2 + c ( t )

r t = - t 2 b + t c

Passo 3

Vamos calcular r ' t !

r ' t = d d t - t 2 b + d d t t c

Temos uma derivada polinomial aqui:

d d x x n = n x n - 1

r ' t = - 2 t b + c

Resposta

r ' t = - 2 t b + c

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Demonstre a fórmula 5 do Teorema 3. d d t u t × v ( t ) = u ' t × v t + u t × v ' t
Se u e v são as funções vetoriais do Exercício 45, use a Fórmula 5 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t × v t ]
Se r t ≠ 0 , mostre que d d t r t = 1 r t r t ⋅ r ' ( t ) [Sugestão: r t 2 = r t ⋅ r ( t ) ] .
Calcule a integral. ∫ 1 4 t i ^ + t e - t j ^ + 1 t 2 k ^ d t