Determine r(t) se r' (t) = t^2 i + 4 t^3 j - t^2 k e r(0) = j^ .

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A função vetorial r ( t ) é primitiva da função r ' t . Assim, temos

r t = ∫ r ' t d t

r t = ∫ t 2 i ^ + 4 t 3 j ^ - t 2 k ^ d t

Como temos uma integral indefinida aqui, iremos utilizar:

r 0 = j ^

Para encontrarmos o valor da constante C .

Passo 2

Separando a integral por termos, obtemos:

r t = ∫ t 2 d t i ^ + ∫ 4 t 2   d t j ^ + ∫ t 2 d t k ^

Isso implica que:

r t = 1 3 t 3 i ^ + t 4 j ^ - 1 3 t 3 k ^ + C

Onde C   é uma constante.

Passo 3

Mas:

j ^ = r 0 = 0 i ^ + 0 j ^ - 0 k ^ + C

Então, temos que:

C = j ^

E podemos concluir que:

r t = 1 3 t 3 i ^ + t 4 j ^ - 1 3 t 3 k ^ + j ^

Organizando:

r t = 1 3 t 3 i ^ + t 4 + 1 j ^ - 1 3 t 3 k ^

Resposta

r t = 1 3 t 3 i ^ + t 4 + 1 j ^ - 1 3 t 3 k ^

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