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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 16

Se f (t) = (1)/(t - 1) e vec f (t) = t vec i + t^2 vec j , determinar

(f (t) vec f (t))^'

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o seguinte:

(f (t) vec f (t))^'

Para começar, vamos olhar o termo f (t) vec f (t) . Vem comigo!

vec f (t) = t vec i + t^2 vec j

Como f (t) = (1)/(t - 1) :

f (t) vec f (t) = (1)/(t - 1) (t vec i + t^2 vec j)

Fazendo a distributiva:

f (t) vec f (t) = (t)/(t - 1) vec i + (t^2)/(t - 1) vec j

Passo 2

Para finalizar, vamos derivar f (t) vec f (t) :

(f (t) vec f (t))^' = ((t)/(t - 1))^' vec i + ((t^2)/(t - 1))^' vec j

Agora vamos usar a regra do quociente! Para o termo que acompanha vec i :

((t)/(t - 1))^' = (1 xx (t - 1) - t xx (1))/((t - 1)^2)

Logo,

((t)/(t - 1))^' = - (1)/((t - 1)^2)

Já para o que acompanha vec j :

((t^2)/(t - 1))^' = (2 t xx (t - 1) - t^2 xx 1)/((t - 1)^2)

Portanto,

((t^2)/(t - 1))^' = (t^2 - 2 t)/((t - 1)^2)

Juntando tudo:

(f (t) vec f (t))^' = - (1)/((t - 1)^2) vec i + (t^2 - 2 t)/((t - 1)^2) vec j

Resposta

- (1)/((t - 1)^2) vec i + (t^2 - 2 t)/((t - 1)^2) vec j

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Se u → t = i ^ - 2 t 2 j ^ + 3 t 3 k ^ e v → t = t i ^ + cos ⁡ t j ^ + s e nt k ^ . Determine d d t [ u → t ∙ v → t ]
Determine vec r (t) se vec r ' (t) = s e n t hat i - cos t hat j + 2 t hat k e vec r (0) = hat i + hat j + 2 hat k
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