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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 51

Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r ' ' , então

d d t r t × r ' ( t ) = r t × r ' ' ( t )

Passo 1

Eai, belezinha?

Vamos entender como resolver essa questão de demonstração? Se liga!

Para resolver a derivada d d t [ r ( t ) × r ' ( t ) ] , usaremos a regra do produto vetorial. Primeiro, aplicamos a regra que diz d d t [ A ( t ) × B ( t ) ] = A ' ( t ) × B ( t ) + A ( t ) × B ' ( t ). Depois, substituímos A ( t ) = r ( t ) e B ( t ) = r ' ( t ) e derivamos cada termo, simplificando onde necessário.

Vamos começar!

Passo 2

Seja r t uma função vetorial tal que r ' ' ( t ) exista.

Primerio, recordamos a regra do produto para a derivada de um produto vetorial. Se A ( t ) e B ( t ) , são funções vetoriais de t , então a derivadado produto vetorial A t   x   B ( t ) é dado por:

d t d ​ [ A ( t ) × B ( t ) ] = d t d A ( t ) ​ × B ( t ) + A ( t ) × d t d B ( t ) ​ .

Aplicando essa regra à nossa função r t × r ' t , temos:

d t d ​ [ r ( t ) × r ' ( t ) ] = d t d r ( t ) ​ × r ' ( t ) + r ( t ) × d t d r ' ( t ) ​

Passo 3

Como d t d r ( t ) ​ = r ' ( t )   e   d r ' ( t ) d t = r ' ' ( t ) , substituímos essas expressões na fórmula acima:

d t d ​ [ r ( t ) × r ' ( t ) ] = r ' ( t ) × r ' ( t ) + r ( t ) × r ' ' ( t )

Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é o vetor nulo, ou seja, r ' ( t ) × r ' ( t ) = 0 . Portanto, a expressão se simplifica para:

d t d ​ [ r ( t ) × r ' ( t ) ] = 0 + r ( t ) × r ' ' ( t ) = r ( t ) × r ' ' ( t )

Passo 4

Assim, mostramos que:

d t d ​ r t × r ' t = r t × r ' ' t

Resposta

Demonstração feita nos Passos 2 ao 4.

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