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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.

f ( x , y ) = l n ⁡ ( 2 x + y + 1 )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem para encontrar as aproximações quadráticas de cúbicas de f perto da origem. Observe a função dada:

f ( x , y ) = l n ⁡ ( 2 x + y + 1 )

Agora, acompanhe a resolução!

Passo 2

Começaremos para função dada encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y .Observe:

f x = 2 2 x + y + 1 f y = 1 2 x + y + 1 f x x = - 4 ( 2 x + y + 1 ) 2 f x y = - 2 ( 2 x + y + 1 ) 2 f y y = - 1 ( 2 x + y + 1 ) 2

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0 + x ⋅ 2 + y ⋅ 1 + 1 2 x 2 ⋅ ( - 4 ) + 2 x y ⋅ ( - 2 ) + y 2 ⋅ ( - 1 ) f ( x , y ) = 2 x + y + 1 2 - 4 x 2 - 4 x y - y 2 f ( x , y ) = ( 2 x + y ) - 1 2 ( 2 x + y ) 2

Passo 3

Para aproximação cúbica, precisaremos das seguintes derivadas parciais, repare:

f x x x   = 16 ( 2 x + y + 1 ) 3 f x x y   = 8 ( 2 x + y + 1 ) 3 f x y y   = 4 ( 2 x + y + 1 ) 3 f y y y   = 2 ( 2 x + y + 1 ) 3

Temos, então, que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação cúbica:

f ( x , y ) ≈  quadrática  + 1 6 x 3 f x x x ( 0,0 ) + 3 x 2 y f x y y ( 0,0 ) + 3 x y 2 f x y y ( 0,0 ) + y 3 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = ( 2 x - y ) - 1 2 ( 2 x + y ) 2 + 1 6 x 3 ⋅ 16 + 3 x 2 y ⋅ 8 + 3 x y 2 ⋅ 4 + y 3 ⋅ 2 f ( x , y ) = ( 2 x + y ) - 1 2 ( 2 x - y ) 2 + 1 3 8 x 2 - 12 x 2 y + 6 x y 2 + y 2 f ( x , y ) = ( 2 x + y ) - 1 2 ( 2 x - y ) 2 + 1 3 ( 2 x + y ) 3

Resposta

Resposta nos passos.

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