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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.

f ( x , y ) = y s e n ⁡ x

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem para encontrar as aproximações quadráticas de cúbicas de f perto da origem. Veja a função dada e acompanhe os passos a seguir:

f ( x , y ) = y s e n ⁡ x

Passo 2

Começaremos pela função dada encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y .Observe:

f x = y c o s ⁡ x f y = s e n ⁡ y f y = s e n ⁡ x f x x = - y s e n ⁡ x f x y = c o s ⁡ x f y y = 0

Passo 3

Temos, então, que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática, veja:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0 + x ⋅ 0 + y ⋅ 0 + 1 2 x 2 ⋅ 0 + 2 x y ⋅ 1 + y 2 ⋅ 0 f ( x , y ) = x y

Para aproximação cúbica precisaremos das seguintes derivadas parciais, repare:

f x x x = - y c o s ⁡ x f x y y = - s e n ⁡ x f x y y = 0 f y y = 0

Passo 4

Desse modo, vemos que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação cúbica:

f ( x , y ) ≈  quadrática  + 1 6 x 3 f x x x ( 0,0 ) + 3 x 2 y f x y ( 0,0 ) + 3 x y 2 f x y ( 0,0 ) + y 3 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = x y + 1 6 x 3 ⋅ 0 + 3 x 2 y ⋅ 0 + 3 x y 2 ⋅ 0 + y 3 ⋅ 0 f ( x , y ) = x y

Resposta

Resposta nos passos.

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