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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 11

Utilize a fórmula de Taylor para encontrar uma aproximação

quadrática de ƒ(x, y) = cos x cos y na origem. Calcule o erro na

aproximação se |x| ≤ 0,1 e |y| ≤ 0,1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para encontrar as aproximações quadráticas f ( x , y ) = c o s ⁡ x c o s ⁡ y perto da origem. Estimaremos o erro também, sabendo que:

| x | ≤ 0,1 | y | ≤ 0,1

Vamos lá!

Passo 2

Começaremos para função dada encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y .

f x = - s e n ⁡ x c o s ⁡ y f y = - c o s ⁡ x s e n ⁡ y f x x = - c o s ⁡ x c o s ⁡ y f x y = s e n ⁡ x s e n ⁡ y f y y = - c o s ⁡ x c o s ⁡ y

Passo 3

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática, observe:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 1 + x ⋅ 0 + y ⋅ 0 + 1 2 x 2 ⋅ ( - 1 ) + 2 x y ⋅ 0 + y 2 ⋅ ( - 1 ) f ( x , y ) = 1 - x 2 2 - y 2 2

Como todas as derivadas parciais da função f são produtos de senos e cossenos, o valor absoluto dessas derivadas sempre é menor que zero ou um. Assim temos que o erro será:

E ( x , y ) ≤ 1 6 ( 0,1 ) 3 + 3 ( 0,1 ) 3 + 3 ( 0,1 ) 3 + ( 0,1 ) 3 E ( x , y ) ≤ 0,00134

Resposta

Resposta nos passos.

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