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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.

f ( x , y ) = s e n ⁡ x c o s ⁡ y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem para encontrar as aproximações quadráticas de cúbicas de f perto da origem. Observe a função dada e acompanhe a resolução!

f ( x , y ) = s e n ⁡ x c o s ⁡ y

Passo 2

Começaremos pela função dada encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y . Veja:

f x   = c o s ⁡ x c o s ⁡ y f y   = - s e n ⁡ x s e n ⁡ y f x x   = - s e n ⁡ x c o s ⁡ x f x y   = - c o s ⁡ x s e n ⁡ y f y y   = - s e n ⁡ x c o s ⁡ y

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0 + x ⋅ 1 + y ⋅ 0 + 1 2 x 2 ⋅ 0 + 2 x y ⋅ 0 + y 2 ⋅ 0 f ( x , y ) = x

Passo 3

Para aproximação cúbica, precisaremos das seguintes derivadas parciais, repare:

f x x x = - c o s ⁡ x c o s ⁡ y f x x y = s e n ⁡ x s e n ⁡ y f x y y = - c o s ⁡ x c o s ⁡ y f y y = s e n ⁡ x s e n ⁡ y

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação cúbica:

f ( x , y ) ≈  quadrática  + 1 6 x 3 f x x x ( 0,0 ) + 3 x 2 y f x x y ( 0,0 ) + 3 x y 2 f x y y ( 0,0 ) + y 3 f y y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = x + 1 6 x 3 ⋅ ( - 1 ) + 3 x 2 y ⋅ 0 + 3 x y 2 ÷ ( - 1 ) + y 3 ⋅ 0 f ( x , y ) = x - 1 6 x 3 + 3 x y 2

Resposta

Resposta nos passos.

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