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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.7 - Ex. 15

Nos Exercícios 13-18, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo F através da superfície S na direção da normal unitária exterior n .

15. F = x 2 y i + 2 y 3 z j + 3 z k

S: r r , θ = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j + 5 - r 2 k

0 ≤ r ≤ 3 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Fazendo uma representação paramétrica usando as variáveis ​​ u e v

r = u cos ⁡ v ,   u sen ⁡ v , u

(Ou seja, não use “r" tanto para o vetor de posição quanto para o raio). Com isso, vamos calcular as derivadas parciais

∂ r ∂ u = cos ⁡ v , sen ⁡ v , 1

∂ r ∂ v = - u sen ⁡ v , u cos ⁡ v , 0

Agora, calculando o vetor normal calculando o produto vetorial dessas duas derivadas.

N = ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v

Substituindo os termos

N = i j k cos ⁡ v sen ⁡ v - 2 u - u sen ⁡ v u cos ⁡ v 0 = 0 - u cos ⁡ v i - 0 - u sen ⁡ v j + [ u cos 2 ⁡ v + u sen 2 ⁡ v ] k

Com isso, nós temos que

N = - u cos ⁡ v , - u sen ⁡ v , u

Passo 2

Calculando o rotacional de F e fazendo a reescrita dos componentes em termos de u e v.

∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z M N P = i ∂ P ∂ y - ∂ N ∂ z - j ∂ P ∂ x - ∂ M ∂ z + k ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

Substituindo os termos

∇ × F = i 0 - 1 - j 1 - - 1 + k - 1 - 1 = - 1 , - 2 , - 2

Fazendo ∇ × F ∙ N , nós obtemos o seguinte resultado

∇ × F ∙ N = - 1 , - 2 , - 2 ∙ 2 u 2 cos ⁡ v , 2 u 2 sen ⁡ v , u = - 2 u 2 cos ⁡ v - 4 u 2 sen ⁡ v - 2 u

Passo 3

Com isso, a integral fica da seguinte forma

∬ ∇ × F ∙ N   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( - 2 u 4 cos ⁡ v sen 3 ⁡ v - u 3 cos 2 ⁡ v )   d u   d v

Desenvolvendo a integral do lado mais interno, temos

∬ ∇ × F ∙ N   d S = ∫ 0 2 π - 2 5 u 4 cos ⁡ v sen 3 ⁡ v - 1 4 u 4 cos 2 ⁡ v 0 1   d v = - 2 5 ∫ 0 2 π - 2 5 cos ⁡ v sen 3 ⁡ v - 1 4 cos 2 ⁡ v d v

Que tem como resultado

∬ ∇ × F ∙ N   d S = 2 π + 1 2 s en ⁡ 4 π 0 2 π = - 1 8   2 π + 0 - 0 + 0 = - π 4

Resposta

∬ ∇ × F ∙ N   d S = - π 4

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