Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 37
- Mostre que a série converge para todo .
- Deduza que o para todo .
Passo 1
Fala aí, pessoal!
A questão nos pede para mostrar que a série dada converge. Para tanto, nós utilizaremos o Teste da Razão.
O Teste da Razão diz o seguinte:
- Se , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
- Se ou se , então a série é divergente.
- Se , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.
Em seguida, a questão pede para nós deduzirmos que o termo geral da série dada tende a zero, quando n tende ao infinito para qualquer valor escolhido para . Para isso, nós podemos usar o seguinte teorema:
Teorema 1: Se uma série qualquer converge, então
Passo 2
Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta para nós podermos usar o Teste da Razão.
A expressão do n-ésimo termo da série nos foi dado na questão:
Nós determinamos o (n + 1)-ésimo termo substituindo n por n + 1 na expressão de an:
Assim, temos que:
Passo 3
Determinada a razão , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que quando se torna muito grande, a divisão se torna cada vez mais próxima de zero, pois é único para cada valor de escolhido e, eventualmente, o denominador ficará muito maior que o numerador a medida que aumenta. Portanto
E segue do Teste da Razão que a série dada é absolutamente convergente, portanto ela converge.
Passo 4
Demonstrado que a série dada converge, nós concluímos diretamente do Teorema 1 do Passo 1 que o termo quando .
Vocês verão mais tarde que a série é a série de Maclaurin da função exponencial.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)