Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.6 - Ex. 9
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
E aí, povo! Beleza pura?
Precisamos achar o comportamento da série:
Para isso, precisamos escolher algum dos métodos que vimos até agora. Uma dica é que quando temos um termo elevado a , o Teste da Raiz pode ser bem útil para nós, uma vez que esse ele “some” com essa incógnita no expoente.
Relembrando esse teste:
- Se , então a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente)
- Se ou , então a série é divergente.
- Se o Teste da Raiz não é conclusivo.
Entendeu o que precisamos fazer? Só precisaremos calcular:
E avaliar seu resultado para entender qual dos 3 casos acima vamos ter!
Bora achar a solução!
Passo 2
Primeiros vamos definir
Como o módulo retorna somente valores positivos, podemos retirar o termo , que torna alguns valores negativos:
Bora calcular o limite:
Vamos usar a propriedade da potenciação:
Passo 3
Voltando ao cálculo do limite:
Aqui vemos que o numerador é constante. Já o denominador tende para 1, pois quando
, fica cada vez mais próximo de 0, e todo número elevado a 0 é igual a 1:
Então, temos que o teste mostra que a série diverge já que o limite é maior que .
Resposta
A série diverge.