Suponhamos que a série ∑ a n seja condicionalmente convergente.(a) Demonstre que a série ∑ n 2 a n é convergente.(b) A convergência condicional de não é suficiente para determinar se ∑ na n é convergente. Mostre isso dando um exemplo de uma série condicionalmente convergente tal que ∑ na n converge e um exemplo em que ∑ na n diverge.

Enunciado

Supondo que a série seja condicionalmente convergente.

Se a série for convergente, então

então existe um inteiro de tal modo que .

Isso implica que:

Para , temos que então, converge pela comparação com a série convergente p-série .

Em outras palavras, converge absolutamente, contradizendo a suposição de que é condicionalmente convergente. Essa contradição mostra que diverge.

Observe que o mesmo argumento mostra que diverge para .

Ele converge pelo Teste de Série Alternada, mas não converge absolutamente.

Pelo Teste Integral, definindo a função como é continua, positiva e decrescente em e

Assim, definindo

Para , nós temos que

Converge pelo teste das séries alternadas.

É fácil encontrar séries convergentes condicionalmente tal que diverge. Dois exemplos são:

ambos convergem pelo Teste de Série Alternada e não convergem absolutamente porque uma p-série com . Nesses casos, diverge pelo teste da divergia.

Ei, a resposta está no passo a passo :)