Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 45
Suponhamos que a série seja condicionalmente convergente.
(a) Demonstre que a série é convergente.
(b) A convergência condicional de não é suficiente para determinar se é convergente. Mostre isso dando um exemplo de uma série condicionalmente convergente tal que
converge e um exemplo em que diverge.
Passo 1
Supondo que a série seja condicionalmente convergente.
- é divergente: suponha converge. Então pelo seguinte Teorema:
- Um exemplo de série condicionalmente convergente é:
Se a série for convergente, então
então existe um inteiro de tal modo que .
Isso implica que:
Para , temos que então, converge pela comparação com a série convergente p-série .
Em outras palavras, converge absolutamente, contradizendo a suposição de que é condicionalmente convergente. Essa contradição mostra que diverge.
Observe que o mesmo argumento mostra que diverge para .
Passo 2
Ele converge pelo Teste de Série Alternada, mas não converge absolutamente.
Pelo Teste Integral, definindo a função como é continua, positiva e decrescente em e
Assim, definindo
Para , nós temos que
Converge pelo teste das séries alternadas.
Passo 2
É fácil encontrar séries convergentes condicionalmente tal que diverge. Dois exemplos são:
E
ambos convergem pelo Teste de Série Alternada e não convergem absolutamente porque uma p-série com . Nesses casos, diverge pelo teste da divergia.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)