Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 27
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Estamos prestes a desvendar o mistério da convergência dessa série matemática!
Note que temos fatorial na nossa série, assim, vamos utilizar o Teste da Razão para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O teste da razão é um dos métodos mais eficazes para investigar a convergência ou divergência de uma série infinita.
A ideia é dividir cada termo da série pelo termo subsequente e observarmos o que acontece quando o número de termos tende ao infinito. Ou seja, iremos calcular:
- Se o resultado for menor que , a série converge;
- Se for maior que , a série diverge;
- E se for igual a , o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Temos que:
E para sabermos basta somarmos um a todos os de :
Passo 2
Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:
Note que podemos organizar essa expressão para resolvermos com mais facilidade:
Passo 3
Organizando a expressão e simplificando os termos semelhantes, teremos que:
Observamos que alguns termos se cancelam, como os fatoriais e as partes da série que se anulam. Assim, ficaremos com:
Finalmente, calculamos o limite desta expressão quando tende ao infinito, teremos:
Passo 4
Como:
Então, a série fornecida é absolutamente convergente e, portanto, convergente.
Resposta
Absolutamente convergente e, portanto, convergente.