Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 33

Seja b n uma sequência de números positivos que converge para 1 2 .

Determine se a série dada é absolutamente convergente.

∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n π n

Passo 1

Boa tarde galerinha!

Precisamos definir se a série é absolutamente convergente. Repare que temos uma série trigonométrica, o que complica um pouco nossa análise. Então vamos tentar simplificar essa série, depois encontraremos um método adequado para a análise de sua absoluta convergência. Tudo tranquilo? Vamos em frente então.

Passo 2

Vamos ver como a série cos ⁡ n π se comporta?

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π = π + 2 π + 3 π + 4 π =   - 1 + 1 - 1 + 1 … .

Ou seja, é uma série alternada do tipo - 1 n :

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n

Assim temos:

∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n π n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n b n n n

Onde b n > 0 para n ≥ 1

E pelo enunciado sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ b n = 1 2

Passo 3

Temos que descobrir se a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n b n n n

é absolutamente convergente. Perceba que é uma série que possui um elemento elevado a n . Isso significa que o teste da razão é uma opção bem interessante.E o que é o teste da razão?

É um teste que diz o seguinte sobre as séries:

Uma série qualquer, chamada de ∑ a n , será absolutamente convergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Será divergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1

Caso

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Então o teste não é conclusivo.

Agora que tudo ficou muito claro. Podemos colocar a mão na massa?!

Nós vamos, agora, aplicar o teste da razão, note que temos:

a n = - 1 n b n n n

E

a n + 1 = - 1 n + 1 b n n + 1 n + 1

Então:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 b n n + 1 n + 1 ⋅ n - 1 n b n n

= lim n → ∞ ⁡ b n n . b n . n n + 1 . b n n =   lim n → ∞ ⁡ b n . n n + 1 =   lim n → ∞ ⁡ b n .   n n + 1

Como

b n → 1 2 e ∞ ∞ → 1

lim n → ∞ ⁡ b n .   n n + 1 = 1 2   . 1 1 = 1 2

Passo 4

Como:

1 2 < 1

Então, a série

∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n π n

É absolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n ! 100 n
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 2 n n 2
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 10 n n + 1 4 2 n + 1
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ s e nn 2 n
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 n + 1