Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 26

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Opa, galera! Beleza?

Aqui precisamos determinar o comportamento de:

Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, sempre vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas. Refrescando nossa memória. No Teste da Razão calculamos o limite:

Se:

a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
a série é divergente
o teste é inconclusivo.

Temos que:

E para sabermos basta somarmos um a todos os de :

Bora resolver nosso limite!

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

Resolvendo a divisão de frações acima, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da fração que divide:

Agora podemos abrir nosso expoente usando a propriedade matemática:

E abrir o fatorial:

Nota como nosso termo fatorial está no numerador e no denominador. Agora é só dividir um pelo outro e assim nos livramos dele. Vamos cancelar mais um termo ( com essa mesma lógica:

Ficamos por fim com:

Note que precisamos utilizar a regra de L’Hospital, então precisamos escrever como um função de , já que essa regra só vale para funções contínuas onde há indeterminações dos tipo e :