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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 18

Nos Exercícios 15-18, utilize séries para estimar os valores das integrais com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 . (A seção de respostas apresenta os valores das integrais arredondados para cinco casas decimais.)

18. ∫ 0 0,25 1 + x 2 3 d x

Passo 1

E aí, preparado para mais uma questão? Então tá esperando o que? Vem comigo!

A questão pede para a gente encontrar uma estimativa do valor da integral com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 . Para isso, o primeiro passo é tentar escrever o integrando, 1 + x 2 3 , como uma série de potências. Depois, integramos e aplicamos o limite de integração. Daí, a gente ver qual vai ser o primeiro termo menor que é 1 0 - 3 = 0,001 e somamos até esse termo.

Para conseguir a aproximação do integrando, precisamos lembrar que a série binomial para m = 1 / 3 é (Exemplo 2 do livro)

1 + x 3 = 1 + x 3 - x 2 9 + 5 x 3 81 - 10 x 4 243 +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora a gente troca x por x 2 e, voilá!

1 + x 2 3 = 1 + x 2 3 - x 4 9 + 5 x 6 81 - 10 x 8 243 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Já temos a expansão em série do integrando, então, vamos integrar:

∫ 0 0,25 1 + x 2 3 d x = ∫ 0 0,25 1 + x 2 3 - x 4 9 + 5 x 6 81 - 10 x 8 243 +   ⋅ ⋅ ⋅ d x

∫ 0 0,25 1 + x 2 3 d x = x + x 3 3 ⋅ 3 - x 5 9 ⋅ 5 + 5 x 7 81 ⋅ 7 - 10 x 9 243 ⋅ 9 +   ⋅ ⋅ ⋅ 0 0,25

Passo 3

Agora, vamos aplicar os intervalos, termo a termo, até obter um termo que seja menor que 1 0 - 3 :

x 0 0,25 = 0,25

x 3 3 ⋅ 3 0 0,25 = ( 0,25 ) 3 9 = 0,015625 9 ≈ 0,001736

- x 5 9 ⋅ 5 0 0,25 = - ( 0,25 ) 5 45 = - ( 0,25 ) 5 45 = - 0,000109

Pronto, chegamos ao termo que queríamos, agora é só somar todas as contribuições:

∫ 0 0,25 1 + x 2 3 d x = 0,25 + 0,001736 - 0,000109 = 0,251627

Arredondando para a quinta casa decimal, ficamos com o seguinte resultado:

∫ 0 0,25 1 + x 2 3 d x = 0,25163

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Resposta

0,25163

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