Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela.

f x = x e - 2 x ,                     a = 0

Passo 1

Faaala, pessoal, tudo certo??

Essa questão pede pra gente achar o polinômio de Taylor T 3 x de uma função...

Pra encontrar o T 3 x , vamos primeiro encontrar a série de Taylor de f centrada em 0 , e depois expandir até o grau 3 .

Já adianto que a gente vai precisar lembrar a série exponencial:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Por último, vamos traçar a função e o T 3 em uma mesma tela usando um software.

Passo 2

Primeira coisa que vamos perceber é que dentro da nossa função, temos uma exponencial! Então por isso a gente vai poder substituir essa parte pela série exponencial. Só que o termo que aparece não é e x , mas sim e - 2 x , então no lugar do x , vai aparecer um - 2 x :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ⇒ e - 2 x = ∑ n = 0 ∞ ( - 2 x ) n n !

Então temos que

f x = x ∙ ∑ n = 0 ∞ - 2 x n n ! = x ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x n n !

Esse x que está multiplicando a gente pode incorporar na nossa série, e fica assim:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x n + 1 n !

Passo 3

Para calcularmos T 3 , vamos abrir o somatório:

f x = x - 2 x 2 + 4 x 3 2 ! - 8 x 4 3 ! + …

Como queremos só até o grau 3 :

T 3 ( x ) = x - 2 x 2 + 4 x 3 2 !

T 3 x = x - 2 x 2 + 2 x 3

Passo 4

Pra terminar, vamos traçar a função e T 3 no plano:

De vermelho temos a função f e em cinza T 3 .

Resposta

T 3 x = x - 2 x 2 + 2 x 3

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