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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 20

Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 19-22 com um erro de magnitude menor que 1 0 - 8

20. ∫ 0 0,1 e - x 2 d x

Passo 1

E aí, tudo bem? Se você ficou confuso com essa questão, não tem problema. Vem comigo que nós vamos resolver isso juntos.

O raciocínio nesse tipo de questão é basicamente o mesmo: encontrar a série que representa o integrando, integrar e aplicar os limites até o termo que contém um erro menor que o pedido. Nesse caso, um termo menor que 1 0 - 8 . O que muda geralmente é como calcular a série. Felizmente, algumas séries são famosas e você pode consultá-las na Tabela 10.1 do livro. É o caso da função exponencial:

e x = ∑ n   =   0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, vamos trocar x por - x 2 na série acima:

e - x 2 = ∑ n   =   0 ∞ ( - x 2 ) n n ! = 1 - x 2 + ( - x 2 ) 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - x 2 ) n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n n ! = 1 - x 2 + x 4 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Agora que temos a expansão do integrando, podemos fazer a integração:

∫ 0 0,1 e - x 2 d x =   ∫ 0 0,1 1 - x 2 + x 4 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅ d x

∫ 0 0,1 e - x 2 d x = x - x 3 3 + x 5 5 ⋅ 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n ! +   ⋅ ⋅ ⋅ 0 0,1

Passo 3

Nesse passo final, vamos aplicar os limites de integração, termo a termo, até obter o primeiro que seja menor que 1 0 - 8 . Quando chegamos nesse termo, é hora de somar todas as contribuições. Vamos lá!

x 0 0,1 = 0,1

- x 3 3 0 0,1 = - ( 0,1 ) 3 3 ≈ - 0,000333333

x 5 5 ⋅ 2 ! 0 0,1 = ( 0,1 ) 5 10 = 0,000001

- x 7 7 ⋅ 3 ! 0 0,1 = - ( 0,1 ) 7 42 ≈ - 0,000000002

Esse é o termo onde a gente para e soma os resultados :

∫ 0 0,1 e - x 2 d x = 0,1 - 0,000333333 + 0,000001 - 0,000000002 = 0,099667665

Arredondando para a quinta casa decimal, ficamos com

∫ 0 0,1 e - x 2 d x = 0,09967

E aí, tá gostando das resoluções dessa seção? Responde Aí!

Resposta

0,09967

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