Sejam duas funções de classe tais que, para todo em , . Seja o conjunto de todos tais que , . Seja a fronteira de orientada no sentido antí-horário. Prove que
Onde é suposta de classe num aberto que contém .
Passo 1
Pelo enunciado, consideremos funções de classe tais que , . E ainda seja nosso
Ou seja,
Assim faremos o seguinte
Passo 2
Assim teremos
Agora se fomos pela integral de linha. Para as integrais relacionadas as retas paralelas ao eixo , temos que nosso , logo as integrais são nulas. Com isso ficamos apenas com as parametrizações que levam nossas funções. Assim teremos
Fazendo temos
E desta forma temos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)