Sejam f ,   g : a , b → R duas funções de classe C 1 tais que, para todo x em a , b , f x < g x . Seja B o conjunto de todos x , y tais que f x ≤ y ≤ g x , a ≤ x ≤ b . Seja γ a fronteira de B orientada no sentido antí-horário. Prove que

∫ γ P d x = ∬ B - ∂ P ∂ y d x d y

Onde P é suposta de classe C 1 num aberto que contém B .

Passo 1

Pelo enunciado, consideremos f , g : a , b → R funções de classe C 1 tais que ∀   x ∈ a , b , f x < g x . E ainda seja nosso B = x , y f x ≤ y ≤ g x ,   a ≤ x ≤ b

Ou seja,

Assim faremos o seguinte

Passo 2

∬ B ∂ P ∂ y d y d x = T e o r e m a   F u n d a m e n t a l   d o   C á l c u l o = ∫ a b P x , y f x g x d x

Assim teremos

= ∫ a b P x , g x - P x , f x d x

Agora se fomos pela integral de linha. Para as integrais relacionadas as retas paralelas ao eixo y , temos que nosso d x = 0 , logo as integrais são nulas. Com isso ficamos apenas com as parametrizações que levam nossas funções. Assim teremos

∫ γ P d x = ∫ a b P t , f t d t - ∫ a b P t , g t d t

Fazendo x = t temos

∫ γ P d x = - ∫ a b [ P x , g x - P x , f x ] d x

E desta forma temos que

∫ γ P d x =   - ∬ B ∂ P ∂ y d y d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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