Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 29

Seja C a fronteira de uma região na qual o teorema de Green é válido. Utilize o teorema de Green para calculara. ∮   C f ( x ) d x + y ( y ) d y b. ∮   C k y d x + h x d y   ( k e h constantes).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício já sabemos, pelo teorema de Green, que:

∮     C M d y + N d x = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y

Assim, você vai utilizar essa fórmula para calcular as seguintes integrais:(a) ∮   C f ( x ) d x + g ( y ) d y e (b) ∮   C k y d x + h x d y (com k , h constantes), onde C é a fronteira de uma região na qual o teorema de Green é válido.

Passo 2

(a)Inicie determinando os valores de M e N :

M = f ( x ) , N = g ( y )

A seguir, determine as derivadas parciais de M e N :

∂ M ∂ y = 0 , ∂ N ∂ x = 0

Substitua os valores encontrados em ∮   C M d y + N d x = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y :

∮     C f ( x ) d x + g ( y ) d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R   0 d x d y = 0

Dessa forma, chegamos ao resultado da integral de ∮   C f ( x ) d x + g ( y ) d y a qual será zero.

Passo 3

(b)Inicie determinando os valores de M e N :

M = k y , N = h x

A seguir, determine as derivadas parciais de M e N :

∂ M ∂ y = k , ∂ N ∂ x = h

Substitua os valores encontrados em ∮   C M d y + N d x = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y :

∮     C k y d x + h x d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R   ( h - k ) d x d y = ( h - k )

Dessa forma, você vai descobrir a integral de ∮   C k y d x + h x d y a qual será ( h - k ) .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

3) Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤2π, onde a0 e b0.
6) Calcule ∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ é uma curva fechada, C1 por partes, simples, fronteira de umconjunto B, cujo interior contém o círculo x 2+y 2≤1 . (Sugestão. Apliqueo teorema
8) Suponha P e Q de classe C1 em Ω = ℝ2 - {(0, 0), (1, 1)}. Suponha, ainda, ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 Calcule ∮ γ P d x + Q d y Sabendo que ∮ γ 1 P d x + Q d y = 1 e ∮ γ 2 P d x + Q d y = 2 (γ1 e γ2 são o
11 ) Faça uma lista de conjuntos para os quais você acha que o teorema deGreen se aplica. Justifique.
7) Suponha P (x, y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω de ℝ2. Prove que F→ = P i→ + Q j → É irrotacional se e somente se ∮ γ P d x + Q d y= 0 para toda curva γ, orientada no sentido anti-horário e f