Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28

A astroide r(t) = (cos3 t)i + (sen3 t)j, 0 ≤ t ≤ 2p

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício você já sabe, pelo enunciado, que a fórmula da área do teorema de Green é dada por A = 1 2 ∮   C x d y - y d x . Assim, você vai utilizar essa fórmula para encontrar a área da região delimitada pela astroide r → ( t ) = c o s 3 ⁡ t i → + s e n 3 ⁡ t j → , com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

Inicie determinando os valores de M e N em termos do parâmetro t :

M = x = c o s 3 ⁡ t , N = y = s e n 3 ⁡ t . 

A seguir, determine seus respectivos diferenciais: d x = - 3 c o s 2 ⁡ t s e n ⁡ t d t , d y = 3 s e n 2 ⁡ t c o s ⁡ t d t

Passo 3

Substituindo os valores de M e N com suas formas diferenciais em A = 1 2 ∮   C x d y - y d x , você vai encontrar o seguinte resultado:

A = 1 2 ∮     C x d y - y d x = 1 2 ∫ 0 2 π     3 s e n 2 ⁡ t c o s 2 ⁡ t c o s 2 ⁡ t + s e n 2 ⁡ t d t   = 1 2 ∫ 0 2 π     3 s e n 2 ⁡ t c o s 2 ⁡ t d t = 3 8 ∫ 0 2 π     s e n 2 ⁡ 2 t = 3 16 ∫ 0 4 π     s e n 2 ⁡ u d u   = 3 16 u 2 - s e n ⁡ 2 u 4 0 4 π = 3 8 π

Resposta

Com isso, você descobrirá o resultado correto da área da astroide que é 3 8 π .

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