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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 27

Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28

A astroide r(t) = (cos3 t)i + (sen3 t)j, 0 ≤ t ≤ 2p

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício você já sabe, pelo enunciado, que a fórmula da área do teorema de Green é dada por A = 1 2 ∮   C x d y - y d x . Assim, você vai utilizar essa fórmula para encontrar a área da região delimitada pela astroide r → ( t ) = c o s 3 ⁡ t i → + s e n 3 ⁡ t j → , com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

Inicie determinando os valores de M e N em termos do parâmetro t :

M = x = c o s 3 ⁡ t , N = y = s e n 3 ⁡ t . 

A seguir, determine seus respectivos diferenciais: d x = - 3 c o s 2 ⁡ t s e n ⁡ t d t , d y = 3 s e n 2 ⁡ t c o s ⁡ t d t

Passo 3

Substituindo os valores de M e N com suas formas diferenciais em A = 1 2 ∮   C x d y - y d x , você vai encontrar o seguinte resultado:

A = 1 2 ∮     C x d y - y d x = 1 2 ∫ 0 2 π     3 s e n 2 ⁡ t c o s 2 ⁡ t c o s 2 ⁡ t + s e n 2 ⁡ t d t   = 1 2 ∫ 0 2 π     3 s e n 2 ⁡ t c o s 2 ⁡ t d t = 3 8 ∫ 0 2 π     s e n 2 ⁡ 2 t = 3 16 ∫ 0 4 π     s e n 2 ⁡ u d u   = 3 16 u 2 - s e n ⁡ 2 u 4 0 4 π = 3 8 π

Resposta

Com isso, você descobrirá o resultado correto da área da astroide que é 3 8 π .

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6) Seja K a região hachurada; γ a poligonal ABCD orientada no sentido anti-horário; γ1 a poligonal EHGF orientada no sentido horário; γ2 a poligonalXWZY orientada no sentido horário. Prove queProve qu
2 ) Sejam γ1 a poligonal de vértices A, B, C, D orientada no sentido antihorário e γ2 a poligonal de vértices H, G, F, E orientada no sentido horário.Suponha P e Q de classe C1 num aberto contendo K,
5) Seja K a região abaixo e γ a fronteira de K orientada no sentido antihorário. Sejam P e Q de classe C1 num aberto contendo K.Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x d y ( Sugestao : D
3 ) Seja B o conjuntoe seja γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Suponha P (x,y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω contendo B. Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x
(Teorema de Green para um círculo.) Seja B o círculo de centro na origem e raio r . Seja γ t = r cos ⁡ t , rs e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π . Suponha que P e Q sejam de classe C 1 num aberto Ω contendo B . Prove