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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 1g

  1. Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.

g.

∮ C 2 x - y 3 d x + - x y d y

C é a fronteira da região limitada pelas curvas

x 2 + y 2 = 4

x 2 + y 2 = 9

Passo 1

OIii, nesse exercício vamos usar truques para resolver os nossos problemas. Na seção 6.3 tivemos que exaustivamente calcular as integrais de linha, agora temos o teorema de Green que diz

∮ C F x , y ⋅ d r = ∫ ∫ R ∇ × F d A

Outra maneira de ver isso é

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

OU seja, o trabalho do nosso campo ao percorrer a borda é igual ao fluxo que atravessa a área dentro dessa borda. O pratico do teorema de Green é que não precisamos mais procurar por parametrizações. É só calcular áreas. Então bora cair dentro!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos o seguinte campo

F = 2 x - y 3 ,   - x y

Vamos então usar o teorema de Green.

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

Vamos calcular o rotacional dessa função

= ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

=   - y - - 3 y 2

= 3 y 2 - y

Passo 3

Bora integrar!!!

∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

∫ ∫ R 3 y 2 - y d A

Vamos descobrir nosso intervalo de integração, temos as equações

x 2 + y 2 = 4

x 2 + y 2 = 9

Logo não tem jeito. Vamos ter que ir de coordenadas cartesianas para polares

x = r cos ⁡ t

y = r sen ⁡ t

J = r

r ∈ 2 ,   3

t ∈ 0 ,   2 π

Com isso nossa integração fica

∫ ∫ R 3 y 2 - y d A → ∫ 0 2 π ∫ 2 3 3 r 2 sen 2 ⁡ t - r sen ⁡ t r d r d t

= ∫ 0 2 π ∫ 2 3 3 sen 2 ⁡ t r 4 4   - sen ⁡ t r 3 3 d r d t

= ∫ 0 2 π 3 sen 2 ⁡ t r 4 4   - sen ⁡ t r 3 3 r = 2 3 d t

= ∫ 0 2 π 3 4 sen 2 ⁡ t 3 4 - 2 4   - 1 3 sen ⁡ t 3 3 - 2 3 d t

Para nossa sorte o termo seno no intervalo fechado 0,2 π ao ser integrado tem resultado nulo, então nossa integral se resume a

= ∫ 0 2 π 3 4 sen 2 ⁡ t 3 4 - 2 4   d t

= 3 4 81 - 16 ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t   d t

Vamos usar a identidade trigonométrica

sen 2 ⁡ t = 1 2 1 - cos ⁡ 2 t

Entao nossa integral fica

= 3 ⋅ 65   8   ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t   d t

= 195 8 t - sen ⁡ 2 t 2 0 2 π

= 195 8 2 π - 1 2 0 - 0

= 195 π 4

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ C 2 x - y 3 d x + - x y d y = 195 π 4

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